如果一条线段被分为中外比，且有一条等于较大线段的线段与之相加，那么，整体线段也被分为中外比，原线段为其较大的线段。
设：线段AB在C点被分为中外比，AC为较大线段，AD等于AC。
那么我说：DB在A点被分为中外比，原线段AB是大线段。
在AB上建正方形AE，且设已作出图形（命题I.46）。
因为：AB在C点被分成中外比，所以：AB、BC构成的矩形等于AC上的正方形（定义VI.3、命题VI.17）。
又，CE是AB、BC构成的矩形，CH是AC上的正方形，所以：CE等于HC。
又，HE等于CE，且DH等于HC，所以：DH也等于HE。
所以：整体DK等于整体AE。
又，DK是由BD、DA构成的矩形，因为：AD等于DL，且AE是AB上的正方形，所以：BD、DA构成的矩形等于AB上的正方形。
所以：DB比BA同于BA比AD，且DB大于BA，所以：BA也大于AD（命题VI.17、V.14）。
所以：DB在A点被分成中外比，AB为大线段。
所以：如果一条线段被分为中外比，且有一条等于较大线段的线段与之相加，那么，整体线段也被分为中外比，原线段为其较大的线段。
证完
注解
这一命题应用在命题XIII.17中，一个十二面体被建出来。
命题XIII.6
如果一条有理线被分成中外比，那么，两部分线段是无理线段，称为余线。
设：AB在C点被分成中外比，AC为较大线。
那么我说：线段AC、CB是被称为余线的无理线段。
延长BA，使AD等于BA的一半。
那么，因为：线段AB被分为中外比，在大线段AC上加AD，AD是AB的一半，于是：CD上的正方形是DA上的正方形的五倍（命题XIII.1）。
所以：CD上的正方形比DA上的正方形同于一个数比一个数，所以：CD上的正方形与DA上的正方形是可公约的（命题X.6）。
又，DA上的正方形是有理的，因为：DA是有理的，AB的一半是有理的，所以：CD上的正方形也是有理的，所以：CD也是有理的（命题X.4）。
又，因为：CD上的正方形比DA上的正方形不同于一个平方数与一个平方数之比。所以：CD与DA是长度不可公约的，所以：CD、DA是仅正方可公约的有理线。所以：AC是余线（命题X.9、X.73）。
知识与无知
这是罗伯特·雷科德（1510—1558年）的《知识宝库》的卷首插图。雷科德是英国数学家，他的第一批用英语写的基础算术和代数教科书成为伊丽莎白时代英格兰的标准读物，《知识宝库》是宇宙论的教科书。在插图中雷科德描述了他的教育学目标以及战胜权威的喜悦：无知站在不安定的球体上，而知识站在坚实的基石之上。
巴克沙手稿
印度有文字可考的历史最早记录发生在吠陀时期，时间跨度从公元前3世纪到公元10世纪。1881年发掘出的巴克沙手稿，成为公元前2世纪至公元3世纪期间印度数学的唯一见证。这些书写在桦树皮上的手稿，记载有丰富的数学内容，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算。特别值得注意的是，手稿中出现了完整的十进制数码，其中用到“·”来表示数码“0”。
又，因为：AB被分成中外比，且AC是大线段，所以：AB、BC构成的矩形等于AC上的正方形（定义VI.3、命题VI.17）。
所以：余线AC上的正方形，如果等于有理线段AB、BC构成的矩形。而余线为边的正方形如果等于一条有理线段和第一余线构成的矩形，于是：CB是第一余线。又，CA也被证明为一个余线（命题X.97）。
所以：如果一条有理线被分成中外比，那么，两部分线段是无理线段，称为余线。
证完
注解
赫斯认为，本命题是后人伪造插入进来的。
这一命题应用在命题XIII.17的十二面体建造之中，以证明五边形的边是无理线（称为余线）。
命题XIII.7
如果一个等边的五边形，有三个相邻或者不相邻的角相等，那么，它是等角五边形。
首先，设在等边五边形ABCDE中，相邻角A、B、C相互相等。
那么我说：五边形ABCDE是等角的。
连接AC、BE、FD。
那么，因为：两个边CB、BA分别等于两个边BA、AE，且角CBA等于角BAE，所以：底AC等于底BE，三角形ABC全等于三角形ABE，且余角等于余角，即，它们是对着等边的角，即角BCA等于角BEA，且角ABE等于角CAB（命题I.4）。
因此：边AF也就等于边BF（命题I.6）。
又，整体AC等于整体BE，所以：余量FC等于余量FE。又，CD等于DE。所以：两边FC、CD等于两边FE、ED，且底FD是它们的公共边，所以：角FCD等于角FED（命题I.8）。
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