所以:DC比CB同于CB比BD。又,DC大于CB,所以:CB也大于BD。
所以:当线段CD被分成中外比时,CB是较大线段。
所以:如果一条线段上的正方形是它的部分线段为边的正方形的五倍,那么,这些线段的两倍被分成中外比时,其中较长的线是原线的所余部分。
证完
引理
也可证明出:两倍AC大于BC。
如果不是,设BC是CA的两倍。
于是:BC上的正方形等于CA上的正方形的四倍。
所以:BC、CA上的正方形之和是CA上的正方形的五倍。而,根据假设,BA上的正方形也是CA上的正方形的五倍。
所以:BA上的正方形等于BC、CA上的正方形之和,这是不可能的(命题VI.1)。所以:CB不是AC的两倍。
类似地,我们也可以证明出,线段CA的两倍不小于CB;因为这更不合理了。
所以:AC的两倍大于CB。
证完
注解
这一命题没有在《原本》中再得以利用,它是前一命题XIII.1的逆命题。
命题XIII.3
如果一条线段被分成中外比,那么,较小线段与大线段的一半之和上的正方形,是大线段一半上的正方形的五倍。
设:点C分线段AB为中外比,AC为较大线段,AC被D点平分。
那么我说:BD上的正方形是DC上的正方形的五倍。
建AE是AB上的正方形,且设已作出图形(命题I.46)。
因为:AC是DC的两倍,所以:AC上的正方形是DC上的正方形的四倍,即RS是FG的四倍。
又,因为:AB、BC构成的矩形等于AC上的正方形,而CE是AB、BC构成的矩形,所以:CE等于RS。
又,RS是FG的四倍,所以:CE也是FG的四倍。
又,因为:AD等于DC,所以:HK也等于KF。
因此:正方形GF等于正方形HL。
所以:GK等于KL,即,MN等于NE,因此:MF等于FE。
而,MF等于CG,所以:CG等于FE。
以上两边与CN相加,所以:折尺形OPQ等于CE。
又,CE已经被证明等于FG的四倍,所以:折尺形OPQ也等于正方形FG的四倍,所以:折尺形OPQ和正方形FG之和等于FG的五倍。
又,折尺形OPQ与正方形FG之和是正方形DN。又,DN是DB上的正方形,且GF是DC上的正方形,所以:DB上的正方形是DC上的正方形的五倍。
所以:如果一条线段被分成中外比,那么,较小线段与大线段的一半之和上的正方形,是大线段一半上的正方形的五倍。
证完
注解
这一结果用在命题XIII.16 中,证明二十面体是给定球的内接多面体。
命题XIII.4
如果一条线段被分成中外比,那么,整体线上的正方形与较小线段上的正方形之和,是较大线段上的正方形的三倍。
设:AB在C点被分为中外比,AC为较大线。
那么我说:AB、BC上的正方形之和是CA上的正方形的三倍。
在AB上建正方形ADEB,且设图形已作出(命题I.46)。
那么,因为:AB在C点被分成中外比,AC为较大线段,于是:AB、BC构成的矩形等于AC为边的正方形(定义VI.3、命题VI.17)。
清华三教授
中国古代数学有着光辉灿烂的传统,但自明代以后由于停滞不前而落后于西方。20世纪初,伴随着科学与民主日益高涨的呼声,中国学者踏上了学习西方先进数学知识的艰难历程。20世纪20年代是中国现代数学发展道路上的关键时期,全国各地的大学纷纷创办数学系。1927年,清华学校大学部正式成立数学系,郑之蕃(图左)任系主任。1928年,清华学校改称清华大学,熊庆来(图中)出任数学系主任,不久,留美博士杨武之(图右)加入。三人通力合作,共同谱写了清华大学的数学传奇,营造了当时中国数学的一方乐土。
又,AK是由AC、BC构成的矩形。且HG是AC上的正方形,所以:AK等于HG。
又,因为:AF等于FE,令CK与以上两边相加,于是:整体AK等于整体CE,所以:AK、CE之和等于AK的两倍。而AK、CE之和等于折尺形LMN与正方形CK之和,所以:折尺形LMN与正方形CK之和是AK的两倍。
又,进一步,AK也被证明等于HG,所以:折尺形LMN与正方形CK、HG之和是正方形HG的三倍。
又,折尺形LMN与正方形CK、HG之和是整体正方形AE、CK之和,它也是AB、BC上的正方形之和,同时HG是AC上的正方形。
所以:AB、BC上的正方形之和是AC上的正方形的三倍。
所以:如果一条线段被分成中外比,那么,整体线上的正方形与较小线段上的正方形之和,是较大线段上的正方形的三倍。
证完
注解
这一命题和下面三个命题皆是为命题XIII.17做的准备,在这一命题中,建十二面体。
命题XIII.5
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