又，角BCA也被证明等于角AEB；所以：整体角BCD等于整体角AED。且，根据假设，角BCD等于在A、B点的角。所以：角AED也等于在A点和B点的角。类似地，我们可以证明，角CDE也等于在A点、B点和C点的角，所以：五边形ABCDE是等角的。
再设：已知等角不是相邻角，即A、C、D处的角是相等的。
那么我说：在这一情况下，五边形ABCDE也是等角的。
连接BD。
那么，因为：BA、AE两边等于BC、CD两边，且它们包含等角，所以：底BE等于底BD，三角形ABE等于三角形BCD，且余角等于余角，即等边所对的角，所以：角AEB等于角CDB（命题I.4）。
又，角BED也等于角BDE，因为边BE等于边BD（命题I.5）。
所以：整体角AED也等于整体角CDE。
又，根据假设，角CDE等于在A点和C点的角，所以：角AED也等于在A点和C点的角。
同理，角ABC也等于在A、C、D点的角，所以：五边形ABCDE是等角的。
所以：如果一个等边的五边形有三个相邻或者不相邻的角相等，那么，它是等角五边形。
证完
注解
本命题被命题XIII.17所用。
命题XIII.8
如果在正五边形中，用线段依次连接相对两角，那么，其连线交成中外比，且大线等于五边形的边。
设：在正五边形ABCDE中，对角线AC、BE在H点相交。
那么我说：它们皆在H点被分成中外比，其大线等于五边形的边。
在圆ABCDE上建内接五边形ABCDE（命题IV.14）。
那么，因为：两条线段EA、AB等于两条线段AB、BC，它们所夹的角相等，所以：底BE等于底AC，三角形ABE等于三角形ABC，且，余角分别等于余角，即等边所对的角（命题I.4）。
计算机芯片
在设计制造计算机芯片时，会涉及到斯坦纳问题和相关数学问题的普遍应用。计算机芯片1平方厘米约有800万只晶体管，它们由极细的金属丝构成的精致系统连接。如果要使芯片上填入更多的晶体管以增强芯片的功效，就必须使金属丝系统尽可能地短，即寻找斯坦纳问题中的最短连接线。图为一块现代计算机芯片，以40倍比例放大，可以见到数百万个晶体管以水平线和竖直线的形式相连接，清晰地显示了它的设计情况。
所以：角BAC等于角ABE，所以：角AHE是角BAH的两倍（命题I.32）。
又，角EAC是角BAC的两倍，因为：弧EDC也是弧CB的两倍（命题III.28、VI.33）。
所以：角HAE等于角AHE。
因此：线段HE也等于线段EA，即AB（命题I.6）。
又，因为：线段BA等于AE，所以：角ABE也等于角AEB（命题I.5）。
又，角ABE已经被证明等于角BAH，所以：角BEA也等于角BAH。
又，角ABE是三角形ABE与三角形ABH的公共角，所以：余角BAE等于余角AHB。所以：三角形ABE与三角形ABH是等角三角形（命题I.32）。
所以：成比例地，EB比BA同于AB比BH（命题VI.4）。
又，BA等于EH，所以：BE比EH同于EH比HB。
又，BE大于EH，所以：EH大于HB（命题VI.14）。
所以：BE在H点被分成中外比，且大线段HE等于五边形的边。
类似地，我们可以证明出，AC也在H点被分为中外比，大线CH等于五边形的边。
所以：如果在正五边形中，用线段依次连接相对两角，那么，其连线交成中外比，且大线等于五边形的边。
证完
注解
这一命题应用在命题XIII.11 的证明中，以作内接于圆（直径为有理线段）的正五边形，该边是无理线段。
命题XIII.9
如果内接于同一个圆内的正六边形的一边和正十边形的一边相加，那么，总线段可分成中外比，且大线段是正六边形的一边。
设：ABC为圆，BC是内接于圆的正十边形的边，CD是内接于圆的正六边形的边，且它们在同一直线上。
那么我说：总线段BD被分成中外比，CD是大线段。
令：E为圆心，连接EB、EC、ED，延长EB至A（命题III.1）。
因为：BC是正十边形的边，所以：弧ACB是弧BC的五倍，所以：弧AC是弧CB的四倍。
又，弧AC比弧CB同于角AEC比角CEB，所以：角AEC是角CEB的四倍（命题VI.33）。
又，因为：角EBC等于角ECB，所以：角AEC是角ECB的两倍（命题I.5、I.32）。
又，因为：线段EC等于CD，因为：它们等于内接于圆ABC的正六边形的边，所以：角CED也等于角CDE，所以：角ECB是角EDC的两倍（命题IV.15、推论、I.5、I.32）。
又，角AEC已经证明等于角ECB的两倍，所以：角AEC等于角EDC的四倍。又，角AEC已经被证明等于角BEC的四倍，所以：角EDC等于角EBC。
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