本命题应用在命题XII.12的证明中。
命题VI.6
如果两个三角形有一个角相等，夹等角的两边对应成比例，那么，两三角形为相似三角形，余下的角也对应相等。
设：ABC和DEF两个三角形中角BAC等于角EDF，夹等角的两边成比例，BA比AC等于ED比DF。
那么我说：三角形ABC与三角形DEF为相似三角形，角ABC等于角DEF，角ACB等于角DFE。
在边DF和点D及F上建角FDG，使之等于角BAC，或者EDF；
建角DFG等于角ACB（命题I.23）。
所以：B点上的角等于G点上的角。
所以：三角形ABC与三角形DGF是相似三角形（命题I.32）。
所以：BA比AC等于GD比DF（命题VI.4）。
因为：BA比AC也等于ED比DF，那么：ED比DF也等于GD比DF（命题V.11）。
所以：ED等于GD。
DF是公共边，所以：ED和DF两边等于GD和DF两边，且角EDF等于角GDF。
所以：EF也等于GF，三角形DEF也全等于三角形DGF，对应边所对的角相等（命题V.9、I.4）。所以：角DFG等于角DFE，角DGF等于角DEF。
又：角DFG等于角ACB，所以：角ACB也等于角DFE。又，假设角BAC也等于角EDF，那么在B点的角也等于在E点的角。
所以：三角形ABC与三角形DEF是相似三角形（命题I.32）。
所以：如果两个三角形有一个角相等，夹等角的两边成比例，那么，两三角形为相似三角形，余下的角也对应相等。
证完
注解
本命题陈述边—角—边相似定理。
本命题应用在命题VI.20、VI.32、XII.1的证明中，在命题XII.12的证明中也出现过几次。
命题VI.7
如果两个三角形有一个角对应相等，其夹另外两个角的对应边成比例，剩余的那两个角皆小于或者皆不小于直角，那么这两个三角形是相似三角形，对应角所对的边成比例。
设：三角形ABC和三角形DEF有一个角相等，角BAC等于角EDF，夹另外角ABC与角DEF的对应边成比例，即AB比BC等于DE比EF。剩余的角C和F小于一个直角。
那么我说：三角形ABC与三角形DEF为相似三角形，即角C等于角F。
如果角ABC不等于角DEF，那么其中一个必大于另一个。
高斯
高斯（1777—1855年），德国数学家、天文学家和物理学家，他被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米得、牛顿并列，同享盛名。1798年高斯因证明代数基本定理获博士学位。他的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
如果角ABC为大，建角ABG，使之等于角DEF（命题I.23）。
那么因为：角A等于角D，角ABG等于角DEF，所以：角AGB等于角DFE（命题I.32）。所以：AB比BG等于DE比EF（命题VI.4）。
因为：DE比EF等于AB比BC，于是AB比BC同AB比BG有相等比值。
所以：BC等于BG，所以：在C点的角也等于角BGC（命题V.11、V.9、I.5）。
又假设C角小于直角，于是：角BGC也小于直角。
所以：它的邻角AGB大于直角（命题I.13）。
而它又被证明等于角F，所以：角F也大于一个直角，而它已被假设小于直角，这是荒谬的。所以：角ABC等于角DEF。
又：角A也等于角D，所以：角C等于角F（命题I.32）。
所以：三角形ABC与三角形DEF是相似三角形。
再令：假设角C和F不小于直角。
那么我说：在这种情况下，三角形ABC也与三角形DEF呈等角关系。
在这同一结构下，我们同样可以证明BC等于BG，于是：角C也等于角BGC（命题I.5）。
又：角C不小于直角，那么角BGC也不小于直角。
于是：在三角形BGC中，有两个三角形之和不小于180°，这是不可能的（命题I.17）。所以：再一次，三角形ABC也不能不等于三角形DEF。所以：它们相等。
又：A点的角也等于D点的角，所以角C等于角F（命题I.32）。
所以：角ABC是角DEF的等角。
所以：如果两个三角形有一个角对应相等，其夹另外两个角的对应边成比例，剩余的那两个角皆小于或者皆不小于直角，那么这两个三角形是相似三角形，对应角所对的边成比例。
证完
命题VI.8
如果在一个直角三角形中，斜边上的高分得的两三角形相似，并且都与原三角形相似。
设：ABC为直角三角形，角BAC为直角，AD是从A点向BD边引出的垂线。
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