那么我说：每个三角形DBA和三角形DAC相似于大三角形ABC，且，它们相互相似。
因为：角BAC等于角BDA，因为皆为直角，角B是两个三角形ABC和三角形DBA的公共角，所以：角ACB等于角DAB。
所以：三角形ABC与三角形DBA相似（命题I.32）。
所以：在三角形ABC与三角形DBA中直角的对应边BC比BA，等于角C所对的AB比角BAD所对的边BD，也等于AC比DA（命题VI.4）。
所以：三角形ABC与三角形DBA相似，其等角对应的边也成逆比例。
同一状况下，我们也可以证明出三角形DAC也相似于三角形ABC。
所以：三角形DBA和三角形DAC皆相似于大三角形ABC。
那么我再说：三角形DBA和三角形DAC也彼此相似。
因为：直角BDA等于直角ADC，此外，角DAB也被证明等于在C点的角。
所以：在B点的角也等于角DAC。
所以：三角形DBA与三角形ADC是相似三角形（命题I.32）。
所以：在三角形DBA和三角形DAC中，BD比AD也等于AD比CD，也等于BA比AC。
所以：三角形DBA相似于三角形DAC
光线弯曲理论
1911年，爱因斯坦预测，光不是永远走直线，当它经过重物附近时，会因为受到重物造成空间变化的影响而走曲线。他计算出某一颗星从太阳后面发出光时，它经过太阳附近到地球时行走路线的曲率。因此，照他计算，从地球上看起来，这颗星会在另一个位置，而不是人们原来设想的位置。然而在太阳的强光下，白天看不到天空中的任何天体，必须等到全日食，才有机会测到位于太阳后面的星星。1919年5月29日，英国人埃丁顿成功地拍到了日全食时星星在云层掩映下的照片，他称之为“这是数学推理能力的最佳典范”。
（命题VI.4、定义VI.1）。
所以：如果在一个直角三角形中，有一条垂直于斜边的垂线，那么被垂线切分的三角形与大三角形相似，并彼此相似。
证完
推论
这一命题也表明，如果在一个直角三角形中，从直角点作一条垂直于斜边的垂线，那么，这条垂线是斜边上两条分得的线段的比例中项。
命题VI.9
一条线段上可以切分一段定长线段。
设：AB为给定的线段。
现在要求的是：从AB中切分一段等于定长。
设：分成的比为1比3。
过A点作射线AC，使之与AB形成一定的角。在AC上取点D、E、C，使DE和EC等于AD（命题I.3）。
连接CB，过D点作DF，使之平行于CB（命题I.31）。
那么因为：DF平行于三角形ABC的一边CB。
所以：有这样的比例，AD比DC等于AF比FB（命题VI.2）。
而DC是AD的两倍，所以：FB也是AF的两倍。所以：AB是AF的三倍。
所以：从给定的线段AB中切分出了AF与AB的比为1比3。
所以：一条线段上可以切分一段定长线段。
证完
命题VI.10
可以切分一条未切分的线段，使其相似于已知的切分线段。
设：AB为给定的未切分线段，AC在D点和E点被切分，置放它们的位置，使之形成一定的角。连接CB，过D、E点作DF和EG，使DF、EG平行于CB。过D作DHK，使之平行于AB（命题I.31）。
那么：图形FH和HB是平行四边形。所以：DH等于FG，HK等于GB。
因为：线段EH平行于三角形DCK的CK边。
所以：DE比EC等于DH比HK（命题VI.2）。
又：DH等于FG，HK等于GB。所以：DE比EC等于FG比GB（命题V.7）。
又因为：DF平行于三角形AEG的EG边。
所以：AD比DE等于AF比FG（命题VI.2）。
又：可以证明出DE比EC等于FG比GB。
所以：DE比EC等于FG比GB，AD比DE等于AF比FG。
所以：给定的未切分线AB被切分出相似于给定的切分线AC。
证完
注解
某个意义上看，本命题是上一命题VI.9的归纳。
本命题在《几何原本》中再未利用，但是它是几何学的重要基本命题之一。
命题VI.11
给定两条线段，可以找到第三条与它们成比例的线段。
笛卡儿
勒奈·笛卡儿（1596—1650年），法国伟大的数学家、哲学家、物理学家和生理学家。作为数学家，他是解析几何的创始人；作为哲学家，他被黑格尔称为“现代哲学之父”；作为科学家，他被誉为“近代科学的始祖”。
设：AB和AC是给定的两条线段，置放它们的位置，使之形成一定的角。
现在要求的是：找出一条线，使之与AB和AC成比例。
延长它们至D和E，使BD等于AC。连接BC，过D点作DE，使之平行于BC（命题I.3）。
那么因为：BC平行三角形ADE的边DE。
所以，AB比BD等于AC比CE（命题VI.2）。
本小章还未完~.~，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！