又：角AEC等于角BAD，角ACE等于内错角CAD。所以：角BAD也等于角CAD（命题I.29）。所以：直线AD平分角BAC。
所以：如果三角形的一个角的平分线，截对边得到的两条线段的比等于夹这个角的两边的比；如果三角形一边被分成两段的比等于其余两边的比，那么连接分点与顶点的直线平分这一边所对的角。
证完
注解
本命题在《几何原本》中未得以再利用。
应用广泛的算术三角
算术三角中的数是二项展开式系数，也是组合数，又是行数。它和开方（开平方、开立方以至高次方）、解方程、组合数学、概率论等都有密切关系，历代学者都很重视，并从不同的角度来造出这个表。但就全世界的范围来看，东方各国比欧洲更早知道这个三角形。图为卡尔达诺（1501—1576年）给出的算术三角图。
命题VI.4
在相似三角形中，等角所对的边对应成比例，等角所对的边是对应边。
设：ABC和DCE为相似三角形，角ABC等于角DCE，角BAC等于角CDE，角ACB等于角CED。
那么我说：在三角形ABC和DEC中，相等角所对的边成比例。
令：CE放置在直线BC上。
那么因为：角ABC与角ACB之和小于180°，角ACB等于角DEC。所以：角ABC与角DEC之和小于180°。所以：BA与ED如果延长，那么将相交。
令其相交于F（命题I.17）。
因为角DCE等于角ABC，DC平行于FB。又因为：角ACB等于角DEC，AC平行于FE（命题I.28）。
所以：FACD是平行四边形，所以：FA等于DC，AC等于FD（命题I.34）。
又因为：AC平行于三角形FBE的边FE。所以：BA比AF等于BC比CE（命题VI.2）。
又AF等于CD，所以，BA比CD等于BC比CE。
又，由更比，AB比BC等于DC比CE。
又，CD平行于BF，所以，BC比CE等于FD比DE。
又，FD等于AC，所以：BC比CE等于AC比DE。又，由更比，BC比CE等于AC比DE。
因为，AB比BC等于DC比CE。且BC比CA等于CE比ED。
所以，由首末比可得，BA比CA等于CD比ED（命题V.7、V.16）。
所以：在相似三角形中，等角的对应边成比例，等角所对的边是对应边。
证完
注解
本命题暗示等角三角形是相似三角形。这在命题VI.8已有详细的证明。本命题也暗示与一个三角形相似的三角形彼此相似。后一陈述见于命题VI.21。
本命题及逆命题频繁地使用在本卷其余的命题及卷X到卷XIII的命题中。
命题VI.5
如果两个三角形的三边对应边成比例，那么对应角相等。
设：三角形ABC与三角形DEF中：AB比BC等于DE比EF，BC比CA等于EF比FD，BA比AC等于ED比DF。
那么我说：三角形ABC与三角形DEF是相似三角形，即角ABC等于角DEF，角BCA等于角EFD，角BAC等于角EDF。
因为，在直线EF上的点E、F处建角FEG等于角CBA，角EFG等于角BCA。
于是：角A等于角G（命题I.23、I.32）。
所以：三角形ABC与三角形GEF是相似三角形。所以：在三角形ABC和三角形GEF中，角的对应边成比例。
所以：AB比BC等于GE比EF（命题VI.4）。
因为：AB比BC等于DE比EF，于是：DE比EF等于GE比EF（命题V.11）。
所以：DE、GE与EF有相等的比值，所以：DE等于GE（命题V.9）。
同样原因：DF也等于GF。
那么因为：DE等于GE，EF为公共边，DE和EF两边等于GE和EF两边，DF等于 GF。所以：角DEF等于角GEF。
日心说
图为哥白尼的《天体运行论》中的一页，其展示了以太阳为中心，行星按照正确顺序排列的图形。图的外面是众多的恒星。哥白尼试图使托勒密的体系更完善，他认为，托勒密的模型需要沿椭圆轨道以变速运行，他自己则严格遵守亚里士多德的行星沿完美圆形轨道以常速运行的提法，这一要求使哥白尼有了日心说的设想，即太阳是宇宙的中心；地球绕太阳运行的同时，还绕着它自身的轴自转。
三角形DEF等于三角形GEF，余下的角等于其余的角，即相等边的对应角（命题I.8、I.4）。
所以角DFE也等于角GFE，角EDF等于角EGF。
又因为：角DEF等于角GEF，角GEF等于角ABC。所以：角ABC等于角DEF。
同样理由：角ACB也等于角DFE，角A等于角D。所以：三角形ABC与三角形DEF是相似三角形。
所以：如果两个三角形边成比例，那么对应角相等。
证完
注解
显然，本命题是前一命题的逆命题，现在，关于相似三角形有了两种描述，一为等角三角形相似，二为对应边成比例的三角形相似。
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