证明的第一步是证明CB∶CE=ACB的面积∶ACD的面积。根据定义V.5，即是说任意m和n有：
mBC>= 在欧几里得证明中，m和n是3。现在mBC等于线段CH，nCD等于线段CL，m ABC的面积等于三角形ACH的面积，而nACD的面积等于三角形ACL的面积。所以证明为： CH>= 这又缘于命题I.38，于是证明的第一步完成。 第二步容易一些，因为平行四边形面积是三角形面积的两倍，它们也有相同的比。 本命题频繁地应用在本卷其余命题中，也应用在卷XI和XII中。 命题VI.2 如果一条直线平行于三角形的一条边，那么它所截得的边成比例；如果三角形的边被截成比例，那么通过两点的直线平行于三角形的第三边。 设：在三角形ABC中，DE平行于BC； 那么我说：BD比AD等于CE比AE。 连接BE和CD。 于是：三角形BDE的面积等于三角形CDE的面积，因为它们在同一边DE上，且有同一平行线DE和BC（命题I.37）。 又：ADE是另一个三角形。 又：等于相等比值的量相等。 所以：三角形BDE的面积比三角形ADE的面积等于三角形CDE的面积比三角形ADE的面积（命题V.7）。 又：三角形BDE的面积比三角形ADE的面积等于BD比AD，因为：从E到AB，在同一高度下的平行四边形的面积的比值等于其底的比值（命题VI.1）。 同样理由：三角形CDE的面积比三角形ADE的面积等于CE比AE。 所以：BD比AD也等于CE比AE（命题V.11）。 再令：三角形ABC的边AB和AC被分成比例，BD比AD等于CE比AE，连接DE； 那么我说：DE平行于BC。 在这同一结构中，因为BD比AD等于CE比AE，而BD比AD等于三角形BDE的面积比三角形ADE的面积。 又，CE比AE等于三角形CDE的面积比三角形ADE的面积。 所以：三角形BDE与三角形ADE的面积的比等于三角形CDE与三角形ADE的面积的比（命题VI.1、V.11）。 所以：三角形BDE的面积等于三角形CDE的面积。 又：它们有共同的边DE（命题V.9）。 又：在同一第三边上面积相等的三角形有相同的平行线（I.39）。 所以：DE平行于BC。 所以：如果一条直线平行于三角形的一条边，那么它所截得的边成比例；如果三角形的边被截得的边成比例，那么通过截面两点的直线平行于三角形的第三边。 证完 注解 本命题频繁应用在本卷其余命题中，也用在卷XI和卷XII中。 命题VI.3 如果三角形的一个角的平分线，截对边得到的两条线段的比等于夹这个角的两边的比；如果三角形一边被分成两段的比等于其余两边的比，那么连接分点与顶点的直线平分这一边所对的角。 设：ABC为三角形，直线AD平分角BAC。 那么我说：DB比DC等于AB比AC。 令：过C作CE，使之平行于DA，延长BA，与CE相交于E（命题I.31）。 那么因为：直线AC落在平行线AD和EC上，那么角ACE等于角CAD（命题I.29）。又：角CAD等于角BAD，那么角BAD也等于角ACE。 又因为：直线BAE落在平行线AD和EC上，角BAD等于角AEC（命题I.29）。 又：角ACE也被证明等于角BAD。所以：角ACE也等于三角形AEC。 所以：边AE也等于边AC（命题I.6）。 拉格朗日 拉格朗日（1736—1813年），法国数学家、物理学家。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使其成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达20年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法国国王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。 又因为：AD平行于EC，所以：DB比DC与AB比AE相等（命题VI.2）。 又：AE等于AC，所以：DB比DC等于AB比AC（命题V.7）。 再设：AB比AC等于DB比DC，连接AD。那么我说：直线AD平分角BAC。 在这同一图形中，因为：DB比DC等于 AB比AC。 又：DB比DC等于AB比AE，因为AD平行于EC。所以：AB比AC也等于AB比AE（命题VI.2 、V.11）。 所以：AC等于AE，角AEC也等于角ACE（命题V.9 、I.5）。 小主，这个章节后面还有哦^.^，请点击下一页继续阅读，后面更精彩！