世界上是否存在完全相同的两片树叶，先不去管它，但是，在几何概念中，很多图形或事物是可以相等或相似的。你无法否认边长为4的两个正方形的相等性，你也无法拒绝一切正多边形、圆、正多面体、球体等各自的相似性。事物之间的相似性，是人们进行归纳推理的基础，是事物得以存在的重要属性之一。
本卷主要阐述了比例的属性。
镜子
在埃舍尔的赞美者当中不乏众多数学家,他们认为，埃舍尔的作品中极大地运用了数学的原则和思想，并将它们进行了非同寻常的形象化。他的作品中大部分都是围绕空间几何学和空间逻辑学而创作的。
本卷提要
命题VI.1是本卷的基础，它和命题VI.33直接使用了卷V中的定义，命题VI.1构建线段与支线图形，命题VI.33构建角与圆周。其余命题使用了在卷V中发展起来的比例属性，但并未使用这些命题的定义建任何新的比例。
定义
VI.1 在多边形中，若对应角相等且夹角的边成比例，则称它们是相似多边形。
VI.2 在两个多边形中，夹角的两边若成如下比例：第一形的一边比第二形的一边等于第二形的另外一边比第一形的另外一边，则称两个多边形为逆相似图形。
VI.3 把某线段一分为二，当整体线段比大线段等于大线段比小线段（大线段的平方等于整体线段乘以小线段）时，则称此线段被分为中外比。
VI.4 一个图形中，顶点到对边的垂线段称为图形的高。
命题VI.1
等高的三角形或平行四边形的面积比等于它们的底的比。
设：三角形为ACB和三角形ACD，平行四边形为CE和CF，它们皆在同一高度下，那么我说：第三边CB比第三边CD等于三角形ACB与三角形ACD的面积的比，且等于平行四边形CE的面积比CF的面积。
令：延长BD的两端至H和L，使BG和GH等于CB，DK和KL等于CD，连接AG、AH、AK和AL（命题I.3）。
那么因为CB、BG和GH相互相等。
所以：三角形ACB、ABG和三角形AGH的面积也相互相等（命题I.38）。
所以：CH是CB的倍数，三角形ACH的面积也是三角形ACB的面积的倍数。
同理，CL是CD的倍数，三角形ACL的面积也是三角形ACD的面积的倍数。
又，如果CH等于CL，那么三角形ACH的面积也等于三角形ACL的面积；如果CH大于CL，那么三角形ACH的面积也就大于三角形ACL的面积；同样，如果CH小于CL，那么三角形ACH的面积也相应小于三角形ACL的面积（命题I.38）。
于是：就有四个量，即CB和CD，三角形ACB和三角形ACD。取定了底CB和三角形ACB的底的等倍量，即底CH和三角形ACH。另外，对底CD和三角形ADC的任意量，即底CL和三角形ACL。
又可以证明，如果底CH大于底CL，那么三角形ACH的面积也大于三角形ACL的面积；如果等于，那么后者也等于；如果小于，那么后者也小于，所以底CB比底CD等于三角形ACB与三角形ACD的面积的比（定义V.5）。
再因为：平行四边形CE的面积是三角形ACB的面积的两倍，平行四边形FC的面积是三角形ACD的面积的两倍，又：部分与部分有相等的比值。
所以：三角形ACB的面积比三角形ACD的面积等于平行四边形CE的面积比平行四边形FC的面积（命题I.41、V.15）。
那么：证明出了CB比CD等于三角形ACB与三角形ACD的面积的比，且三角形ACB的面积比三角形ACD的面积等于平行四边形CE的面积比平行四边形CF的面积。
所以：CB比CD也等于平行四边形CE的面积比平行四边形FC的面积（命题V.11）。
所以：三角形和平行四边形如果在同一高度下，那么它们的面积的比等于它们底的比。
证完
注解
这一命题的更好陈述或许是，同一高度的三角形没有共同的底，平行四边形与三角形没有共同的底和边。这是因为在相同平行线上等底的三角形的面积相等（命题I.36），在相同平行线上等底的平行四边形的面积相等（命题I.35），而相等在比例中可以代替（命题V.7），欧几里得的简化是充分的。
制造机械钟
从萌芽之日起，数学就表现出能解决历法、航海、商业等方面产生的计算问题的能力。在人类文明进步的历次重大产业革命和思想革命中，数学作为科学的推动力或直接参与者都起到了不可或缺的作用。图为17世纪丹麦的钟表匠利用数学原理制造机械钟。
这一命题的目的是证明三个比，即线段CB比CD，三角形ACB的面积比ACD的面积，平行四边形CE的面积比CF的面积这三个比是相等的，即：
CB∶CD=ACB的面积：ACD的面积=CE的面积∶CF的面积。
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