维纳斯、雅典娜雕像的下半身与全身之比是0.618。人体天生自然美的比例也符合0.618。人们把这个比值叫做黄金分割。中国《九章算术》中，“粟米”、“衰分”、“均输”三章专讲比率，包括了现在的正比例、反比例、复比例、连锁比例、分配比例等形形色色的比例问题。人们认为，欧多克索斯是本卷“比例论”的思想源头。在此基础之上，欧几里得为比例论建立了完整的理论体系。
本卷对欧多克索斯的比例理论作了精彩的解释，被认为是最重要的数学杰作之一。
横切线
抽象的几何图形与艺术的表现形式完美地融合为一体，康定斯基将这一“完美”应用于他的艺术设计思想，这对他的创作风格起到了极为重要的作用。
本卷提要
本卷叙述欧多克索斯的比率及比率的抽象理论。
※定义V.3，比例的性质及其定义。
※定义V.5、V.6，比例的定义。
※定义V.9，比率平方的定义。
命题V.1，量之和的乘积分配：m（x+x+…+x）=mx+mx+…+mx。
命题V.2，数之和的乘积分配：（m+n）x＝mx+nx。
赵君卿证明
勾股定理在中国有悠久的历史，可以上溯到公元前21世纪大禹治水时代或公元前11世纪周公姬旦时代。普通定理最晚到公元前六七世纪的陈子时代就已经被明确认识并广泛应用了，《周髀算经》中赵君卿的证明虽较晚，但其直观、简洁、优美及形数结合的特点是欧几里得纯粹形式的证明所不能比拟的。图为《周髀算经》中的一页。
命题V.3，乘积的联合：m（nx）=（mn）x。
命题V.5，量之差的乘积分配：m（x－y）=mx－my。
命题V.6，数之差的量乘积分配：（m－n）x=mx－nx。
以下的命题发展了比率及比例理论，从它们的基础的特性，到较高级的属性。
命题V.4，如果w∶x=y∶z，那么，mw∶mx=ny∶nz。
命题V.7及其推论，比率中的相等替换。如果x=y，那么x∶z=y∶z且z: x=z∶y；如果w∶x=y∶z,那么x∶w=z∶y。
命题V.8，如果x
命题V.9，如果x∶z=y∶z，那么x=y；同时，如果z∶x=z∶y，那么x=y。
命题V.10，如果x∶z
命题V.11，相等比率的传递性。如果u∶v=w∶x 且w∶x=y∶z，那么u∶v=y∶z。
命题V.12，如果x∶y=x∶y=…=x∶y，那么这些比率的每个也等于比率：（x+x+…+x） : （y+y+…+y）
命题V.13，比率不等式中的相等比率的替换。如果u∶v=w∶x且 w∶x>y∶z,那么u∶v>y∶z。
命题V.14，如果w∶x=y∶z且w>y，那么x>z。
命题V.15，x∶y=nx∶ny。
命题V.16，更迭比例。如果w∶x=y∶z，那么w∶y=x∶z。
命题V.17、V.18，合比与分比及其逆命题。如果（w+x）∶x=（y+z）∶z，那么w∶x=y∶z；如果w∶x=y∶z，那么（w+x）∶x=（y+z）∶z。
命题V.19及推论，如果（w+x）∶（y+z）=w∶y，那么，（w+x）∶（y+z）=x∶z；如果（u+v）∶（x+y）=v∶y，那么（u+v）∶（x+y）=u∶x。
命题V.22，等比。如果x∶x=y∶y，x∶x=y∶y，…，及x∶x=y∶y，那么x∶x=y∶y。
命题V.23，混比。如果u∶v=y∶z且v∶w=x∶y，那么u∶w=x∶z。
命题V.24，如果u∶v=w∶x且y∶v=z∶x，那么（u+y）∶v=（w+z）∶x。
命题V.25，如果w∶x=y∶z，w是四个量中最大的量，z是最小的量，那么w+z>x+y 。
第五卷的逻辑结构：
第五卷是比和比例的基础，与前面各卷无关。第六卷包含平面几何的比，其证明依赖于第五卷中的结论。同时，在第五卷中的无理线和立体几何、第十一卷至第十三卷关于比的讨论也依赖于第五卷。第七卷至第九卷的数论不直接依赖于本卷，因为，数的比有不同的定义。
然而，尽管欧几里得小心谨慎地证明他使用的比的结论，但还是有一些疏漏，比如比例的三分法则。在对定义V.4到定义V.7的注解中，对此有所描述。
在卷V的部分命题要求处理定义V.4。
哥白尼的世界体系
哥白尼先后在克拉科夫大学和波隆那、帕多瓦研究数学。自1506年起，他就认为太阳是静止不动的，地球和其他行星环绕太阳运行。他在《天体运行论》中提出，恒星的位置仅是表面现象，真正的原因是地球的自转。这些观点与《圣经》的说法相反。哥白尼在序言中说这些观点是数学假设而非事实，所以教会才不予理睬。
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