定义
V.1 当一个较小的量能测尽较大的量时，小量被称为大量的部分。
V.2 当一个较大量能被较小量测尽时，我们称大量为小量的倍数量。
V.3 同类的量之间的大小关系叫做比。
V.4 当一个量数倍以后能大于另一个量，则说两个量有一个比。
V.5 有四个量，第一个量比第二个量等于第三个量比第四个量，那么，第一、第三量或者第二、第四量同时扩大相同的倍量，两个比依然相等。
斯宾诺莎
斯宾诺莎（1632—1677年）是荷兰哲学家，他提出以实体、属性与样式为中心的自因论唯物主义世界观，强调自然界的一切都是必然的，主张“必然性的认识”就是自由。认为感性知识不可靠，只有通过理性的直觉与推理才能得到真正可靠的知识。他的主要著作《伦理学》的体系仿照欧几里得的《几何原本》展开，所有论证都可从前提出发得到证明。
V.6 有相同比的四个量称为成比例的量。
V.7 在四个量之间，第一、三个量取相同的倍数，且第二、四个量取另一相同倍数，若第一个的倍量大于第二个的倍量，且第三个的倍量不大于第四个的倍量，那么，第一个量与第二个量的比大于第三个量与第四个量的比。
V.8 一个比例至少有三个项。
V.9 当三个量成比例时，那么，第一个量与第三个量的比是第一个量与第二个量的二次比。
V.10 当四个量成连续比例时，第一量与第四量的比称为第一量与第二量的三次比。无论量的多少，依此类推。
V.11 在成比例的四个量中，前项与前项、后项与后项称为对应量。
V.12 前项比前项等于后项比后项称为更比。
V.13 把更比的后项作前项，前项作后项称为逆比。
V.14 前项与后项的和比后项称为合比。
V.15 前项与后项的差比后项称为分比。
V.16 前项比前项与后项的差称为交换比。
V.17 有一些量，又有一些与它们个数相等的量，若在各组每取二量作成相同的比例，则第一组量中首量比尾量等于第二组中首量比尾量。这称为首末比。或者说，这是抽取中间项，保留两头的项。
V.18 调动比例是，有三个量，又有另外与它们个数相等的三个量，在第一组量中，前项比后项等于第二组量中的前项比后项，这时，第一组量中的后项比第三项等于第二组中的第三项比前项。
注解
比及比例论
本卷是比及比例理论。一个比为两个量的大小关系。本卷叙述比例理论，为第六卷的几何比例的命题打下基础。命题VI.1是一个阐释何为几何比例的很好实例，该命题叙述在等高的三角形中，高与底边成比例，即两个三角形中的高之比等于它们相应的底边之比。举一个简单的例子，当一条底边是另一条底边的两倍时，它对应的三角形也是对应边的两倍，那么这一比是2∶1，这是很好理解的。那么，任何一个比皆是两个数的比也是很好理解的。线之比等于数之比，比如A∶B=8∶5，有两种解释，一是有一条较短的线A是8cm，那么B=5cm。这一解释出现在卷VII的定义中。第二种解释是5 A=8 B。如果A∶B是一个数的比，那么，A和B是可公约的，即两者都可以被一个公约数所测尽。
但是，许多线段是不可公约的。如果一个正方形的边是A，对角线是B，那么，A和B是不可公约的；A∶B就不是一个数之比。这一事实由毕达哥拉斯发现。
命题V.1
如果有任意多个量，其分别是同样多个数的同倍量，那么，无论这个倍数是多少，前者的和也是后者的和的同倍量。
设：AB和CD的量分别是e和f的同倍量（定义V.2）；
那么我说：AB和CD之和是e和f之和的倍数。
三条蛇
这是埃舍尔的最后一件作品，表现的依然是“无穷”的主题。这次是向中心和外缘都无限地缩小。三条蛇从大环的间隙中头尾相连地交缠在一起，无数个内外缘间距规则递减的圆环以极为复杂的形式相扣在一起，构成一个美丽的图案，作品同时也表现出复杂的动物和简单的圆的背后隐藏的内涵。
因为，AB是e的倍量，CD是f的倍量，其倍数相等，那么，在AB中有多少个等于e的量，在CD中也有同样多个等于f的量。
分割AB为AG和GB，使之等于e，并分割CD为CH和HD，使之等于f；
那么：AG与GB的个数等于CH与HD之个数。
又因为：AG等于e，CH等于f；所以：AG与CH之和等于e与f之和。
同理：GB等于e，GB与HD之和等于e与f之和。
所以：在AB中有多少个等于e的量，在AB与CD之和中也有多少个量等于e与f之和。
所以：AB与CD之和等于e与f之和的倍数。
所以：如果有任意多个量，分别是同样多个数的同倍量，那么，无论这个倍数是多少，前者的和也是后者的和的同倍量。
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