证完
注解
在现代数学中，这一命题陈述了乘法分配律：
m （x+x+…+x）=m x+m x+…+m x。
这里m为一个量，所有x为一个同类的量。
命题V.2
如果第一个量是第二个量的倍量，第三个量是第四个量的倍量，其倍量相等；第五个量也是第二个量的倍量，第六个量是第四个量的倍量，那么，第一个量与第五个量之和也等于第二个量的倍数，第三个量与第六个量之和是第四个量的倍数，其倍数也相等。
首先设：第一量AB的量值是第二量c的相同倍数，第三量DE是第四量f的相同倍数，第五量BG是第二量c的相同倍数，第六量EH是第四量f的相同倍数（定义V.2）。
那么我说：第一与第五之和AG便是第二量c的相同倍数，第三与第六之和DH是第四量f的相同倍数。
因为AB是c的相同倍数，DE是f的相同倍数。
所以：在AB里面有多少等于c的量值，在DE里面有同样多等于f的量值。
同理：在BG里面有多少等于c的量值，在EH里面有同样多等于f的量值。
所以：在整个AG里面有多少等于c的量值，在整个DH里面有同样多等于f的量值。所以：AG是c的相同倍数，DH是f的相同倍数。
所以：如果第一个量是第二个量的倍量，第三个量是第四个量的倍量，其倍量相等；第五个量也是第二个量的倍量，第六个量是第四个量的倍量，那么，第一个量与第五个量之和也等于第二个量的倍数，第三个量与第六个量之和是第四个量的倍数，其倍数也相等。
证完
注解
这一命题简单陈述了等倍量之和相等。如果mc与mf 是c 和f 的等倍量，那么nc 和nf 也是c 和f的等倍量。则mc+nc 以及mf+nf 也是c 和f的等倍量。这一证明依赖于分配律，即：
（m+n）c=mc+nc。
这一命题应用在另三个命题的证明中，它们是命题V.3、V.6和V.17。
命题V.3
如果第一个量值是第二个的倍量，第三个量是第四个量的相同倍数；如果第一量和第三量也是等倍数，那么这两个量分别是第二量及第四量的倍量，并且这两个倍数相等。
设：第一量a的数量值是第二量b的相同倍数，第三量c是第四量d的相同倍数，EF是a的等倍数，GH是c的等倍数（定义V.2）；
那么我说：EF是b的相同倍数，GH是d的相同倍数。
因为EF是a的相同倍数，GH是c的相同倍数。
所以：在EF中有多少个a的相同的量值，在GH中有同样多个c的相同量值。
另：将EF分为EK和KF，使其量值等于a。将GH分为GL和LH，使其量值等于c。
那么EK与KF的量值数等于GL与LH的量值数。
又因为，a是b的相同倍数，c是d的相同倍数，这时EK等于a，GL等于c，故EK是b的相同倍数，GL是d的相同倍数。
同理，KF是b的相同倍数，LH是d的相同倍数。
那么第一个量EK是第二个量b的相同倍数，第三个量GL是第四个量d的相同倍数，第五个量KF是第二个量b的相同倍数，第六个量LH是第四个量d的相同倍数。
所以：第一个量与第五个量之和EF是第二个量b的倍数，第三个量与第六个量之和GH是第四个量d的倍数（命题V.2）。
所以：如果第一个量值是第二个的倍量，第三个量是第四个量的相同倍数；如果第一量和第三量也是等倍数，那么这两个量分别是第二量及第四量的倍量，并且这两个倍数相等。
证完
欧洲的“算术三角”
在帕斯卡之前，欧洲知道“帕斯卡三角”的大有人在。根据现有资料，最早发表的是德国人阿皮安努斯（1495—1552年），他在1527年出版的算术书中就有n＝9的算术三角形图，后来朔伊贝尔（1494—1570年）在他的《算术》中也记有算术三角形（图上），还有塔尔塔利亚（1499—1557年）在他的《数的度量通论》中也记载了此类算术三角形（图下）。
注解
这一命题说等倍量相等。即如果w和x 是y 和z的等倍量，u和v是w和x的等倍量，那么，u和v是y和z的等倍量。证明依赖于乘法的欧几里得算法，即：m（ny）=（mn）y。在欧几里得的证明中，n是3，m是2。
如同在上一命题中，量并不总需要是同一个类。
虽然这一命题实际上并不是陈述比例，但仍然可以解释为比例，对a和c是b和d的等倍量的假设，可以解释为比例a∶b=c∶d，且ma和mc是b和d的等倍量的这一结论也可以解释为一个比例，即ma∶b=mc∶d。在这一解释下，这一比例成为下一命题中证明普遍情形的特殊情况。
命题V.4
如果第一量比第二量与第三量比第四量的比相同，那么第一量比第三量的倍量与第二量比第四量的倍量相同。
设：第一量值a比第二量值b与第三量值c比第四量值d有相同的比，e和f分别是a和c的等倍数，g和h分别是b和d的等倍数。
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