那么我说e比g等于f比h。
令：k为e的等倍量，l为f的等倍量，m为g的等倍量，n为h的等倍量。
因为e为a的等倍量，f为c的等倍量，k为e的等倍量，l为f的等倍量。所以：k是a的倍数，l是c的倍数。
同理，m是b的倍数，n是d的倍数（命题V.3）。
又因为：a比b等于c比d，k和l是a和c的等倍量，m和n是b和d的等倍量，所以：如果m大于k，那么n大于l。
如果相等则也相等，如果小于则也小于（定义V.5）。
又：k和l是e和f的等倍量，m和n是g和h的等倍量。
所以：e比g等于f比h（定义V.5）。
所以：如果第一量比第二量与第三量比第四量的比相同，那么第一量比第三量的倍量与第二量比第四量的倍量相同。
证完
注解
注意，欧几里得应用定义证明两个比例pa∶qb与pc∶qd是相同的（这里，a和b是一个类的量，c和d是另一个类的量，但p和q 是数）。我们给出a∶b＝c∶d，这意味着对于任何数m和n来说，如果ma>＝ 对于任何数p和q来说，我们必须证明pa∶qb＝pc∶qd，这即是说，我们必须证明对任何m和n来说，如果mpa>＝ 但这只是给出关系的特殊形式： 如果 ma>＝ 这一命题应用在命题V.22中。 命题V.5 如果一个量值是另一个量值的倍量，另一个量减去的部分是第一个量减去的部分的倍量，其倍数相等。则余下的量值仍然是相同的倍数，其总量值也是相同的倍数。 设：量值AB是量值CD的相同倍数，减去的部分AE是减去的部分CF的相同倍数。 那么我说：余下的部分EB也是余下的部分FD的相同倍数，总和AB也是总和CD的倍数。 令：作CG，以使EB是CG的倍数，AE是CF的倍数。 那么因为AE是CF的相同倍数，EB是GC的相同倍数。 所以：AE是CF的相同倍数，AB是GF的相同倍数（命题V.1）。 假定：AE是CF的相同倍数，AB是CD的相同倍数。 于是：AB是量值GF和CD的相同倍数，所以：GF等于CD。 从每个中减去CF，于是：余下的GC等于余下的FD。 又因为：AE是CF的相同倍数，EB是GC的相同倍数，GC等于DF。 所以：AE是CF的相同倍数，EB是FD的相同倍数。 假设：AE是CF的相同倍数，AB是CD的相同倍数。 于是：余下的EB是余下的FD的相同倍数，AB是CD的相同倍数。 所以：如果一个量值是另一个量值的倍量，另一个量减去的部分是第一个量减去的部分的倍量，其倍数相等。则余下的量值仍然是相同的倍数，其总量值也是相同的倍数。 证完 同心外壳 一个外壳包着一个外壳，无限地向中心靠近。这件作品使人想到基本粒子空间。最初人们认为原子是最小的物质结构，后来发现了电子和原子核，从原子核中又发现了质子和中子，随后，原子、中微子、介子、共振粒子、强子、夸克等基本粒子不断被发现。基本粒子数目的大量增加，使人们认识到它们也不可能是最基本的物质结构，这种不断缩进的趋势和作品中的图像何其相似。从中心散发的明亮的光芒，照亮了漆黑的宇宙，使人对这种规律性产生神秘的敬畏。 注解 这一命题类似于命题V.1，它陈述量相减的分布数的乘法，m （x－y）=mx－my。 注意，在这一命题中，所有量必须是同一类。 证明的开头部分就涉及到部分量，作CG，使EB是CG的相同倍数，AE是CF的相同倍数。于是，便有如下例子，AE是CF的三分之一，CG是EB的三分之一，而这一结构并不适合所有类型的量，特别是在角与弓形中。 这一命题在《几何原本》的其他地方再未被利用。 命题V.6 如果两个量是另两个量的同倍量，从前两个量中减去后两个量的任意同倍量，那么余量或者与后两个量相等，或者是它们的等倍数。 设：两个量AB和CD是两个量e和f的同倍量，从中减去e的同倍量AG和f的同倍量CH。 那么我说：余量GB和HD也等于e和f，或者是它们的同倍量。 首先，令GB等于e； 那么我说：HD也等于f。 作CK等于f。 因为：AG是e的相同倍数，CH是f的相同倍数，同时GB等于e，KC等于f，所以：AB是e的相同倍数，KH是f的相同倍数（命题V.2）。 又因假设：AB是e的相同倍数，CD是f的相同倍数，于是：KH是f的相同倍数，CD是f的相同倍数。 既然：KH和CD都是f的相同倍数，那么：KH等于CD。 令：从每个量中减去CH，于是：余量KC等于余量HD。 而f等于KC，于是：HD也等于f。 于是：如果GB等于e，那么：HD也等于f。 本小章还未完~.~，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！