同样，我们可以证明出如果GB是e的倍数，HD也是f的相同倍数。
所以：如果两个量是另两个量的同倍量，从前两个量中减去后两个量的任意同倍量，那么余量或者与后两个量相等，或者是它们的等倍数。
证完
注解
这一命题陈述了如果ma和mb是a和b的等倍量，na和nb也是等倍量，那么它们的差ma－na和mb－nb是更多的等倍量，类似于命题V.2的相加。
它的证明依赖于分配性，即量的乘法分配律：（m－n）a=ma－na。欧几里得将4作m ，3作n。但他并不将1视为一个数。
这一命题在《几何原本》的其他地方也被利用。
命题V.7
等量比同一个量相等。
设：a与b等量，c为任意量。
那么我说：a、b与c的比相等，反之，c与a、b的比相等。
作等量a、b的等倍量d、e，c的任意倍数f。
那么因为：d是a的等倍量，e是b的等倍量，且a等于b。
所以：d等于e。而f是另一个任意量。
如果d大于f，那么e也大于f；
如果相等，那么后者也相等，如果小于，那么后者也小于。
又：d和e是a和b的等倍量，同时f是c的任意倍数。
所以：a比c等于b比c（定义V.5）。
我还要进一步说：c与a、b的比相等。
在同一结构中，我们也可以同样证明d等于e，f是另一个量，如果f大于d，那么也就大于e，如果相等，也就等于后者，如果小于，那么也小于后者。
又f是c的倍数，同时d和e是a和b的任意等倍量。
所以：c比a等于c比b（定义V.5）。
所以：等量比同一个量相等。
证完
柯 西
柯西（1789-1857年），法国数学家，其数学成就涉及许多领域。他利用极限理论把微分、积分和无穷级数的概念严密化，与黎曼共同奠定了复变函数论的基础，运用他的方法，计算了力学中的许多积分。他是行列和群论的先驱者，也是弹性力学的奠基人之一。柯西著有论文近800篇，所著《无穷小分析讲义》、《无穷小在几何中的应用》等有很大的影响。
推论
这一命题表明，如果任意量成比例，那么它们也成逆比。
注解
这一命题说，如果a=b， 那么a∶c=b∶c， c∶a=c∶b。命题是显明的，逆命题在命题V.9中给出。
推论是不合适的。这一推论实际上与命题无关。因为命题要求的所有量是同类量，而推论则不是。但这一推论却是正确的，它根据定义V.5而来。
比例的这一基础特性经常使用在涉及比例的命题中，在卷V从第V.10开始的命题中几次使用，大量使用是在卷VI中，以后的几卷中也不时地使用。
命题V.8
两个不等量与同一个量的比值中，较大的量比值也较大；一个量与两个不等量的比值中，小的量比值为大。
设：AB和c是不等量，AB大于c，d是一个任意量。
那么我说：AB比d大于c比d，d比c大于d比AB。
因为：AB大于c，作EB等于c。
那么：对AE和EB中较小的量加倍至一定次数时将大于d（定义V.4）。
首先：令AE小于EB，AE加倍，FG是AE的倍量，并大于d。作GH，使之为EB的相等倍数量，作k为c的相等倍数量，FG为AE的相等倍数量。
令l为d的两倍，m为其三倍，如此连续增加倍数，直到d加倍到首次大于k。令其为n，n为d的四倍，它的一倍大于k（定义V.4）。
因为：k小于n，所以：k不小于m。
因为：FG是AE的相同倍数，GH是EB的相同倍数。
所以：FG是AE的相同倍数，FH是AB的相同倍数（命题V.1）。
又：FG是AE的相同倍数，k是c的相同倍数。
所以：FH是AB的相同倍数，k是c的相同倍数。
所以：FH和k是AB和c的同倍量。
又因为：GH是EB的相同倍数，k是c的相同倍数，EB是c的相同倍数。
所以：GH等于k。
而k不小于m，所以：GH也不小于m。
又：FG大于d，所以：FH大于d与m之和。
又：d与m之和等于n，由于m是d的三倍，m与d之和是d的四倍，同时n也是d的四倍。
所以：m与d之和等于n。
又：FH大于m与d之和，所以：FH大于n，同时k不大于n。
又：FH与k是AB和c的同倍量，同时n是d的任意倍数。
所以：AB比d大于c比d（定义V.7）。
我还要进一步说，d比c大于d比AB。
在这同一结构中，我们同样可以证明出n大于k，同时n不大于FH。
又：n是d的倍数，同时FH和k是AB和c的任意同倍量。
所以：d比c大于d比AB（定义V.7）。
再：令AE大于EB。那么，加倍EB到一定倍数最终会大于d（定义V.4）。
令加倍后的GH是EB的倍数，并大于d。
令：FG是AE的相同倍数量，k是c的相同倍数量，GH是EB的相同倍数量。
那么我们同样也可以证明出FH和k是AB和c的等倍量。
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