对于本书第一卷所述的“三大问题”，历代数学家费尽周折，直到1637年，笛卡儿创建了解析几何以后，尺规作图才有了准则，1882年，林德曼证明了π的超越性，即π不可能为任何整系数多项式的根，三大问题之一的“化圆为方的不可能性”才得到确立。1895年，德国克莱因总结了前人的研究，在《几何三大问题》一书中，给出了三大问题不可能用尺规作图的简明证法，彻底解决了两千多年来的悬案。
本卷讨论了已知圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。
理性主义者
理性主义滥觞于笛卡儿，其后还有斯宾诺莎和莱布尼茨。在他们眼里，数学为真正可靠的知识提供了理想范型。倘若把数学家的发现以及获取新知识的方法用来认识世界，那么就能真正彻底地解释世界。
本卷提要
本卷的命题主要为建圆的内接和外切图形，建直线图形的内切圆和外接圆。
仅有两个命题例外：命题IV.1在圆内建一条适宜的线段，命题IV.10在正五边形内建一特殊的三角形。
定义
定义IV.1 当一个多边形上的顶点分别位于另一多边形的边时，该图形被称为内接于另一图形。
定义IV.2 类似地，当一个多边形的各边分别经过另一个多边形的各顶点时，被称为前图形外接于后图形。
定义IV.3 当一个多边形的各角的顶点都在一个圆周上时，称该图形内接于圆。
定义IV.4 当一个多边形的各边都切于一个圆时，称该多边形外切于圆。
定义IV.5 类似地，当圆与一个多边形各边都相切时，称该圆内切于此多边形。
定义IV.6 当一个圆经过一个多边形的每个顶点时，称该圆外接于该多边形。
定义IV.1～IV.6定义IV.7 当一条线段的两个端点位于圆周上时，称该线段为圆的弦。
希波克拉底
大约在公元前460年，希波克拉底出生在科斯岛的一个医生世家，在治病主要为迷信活动支配的时代，希波克拉底提出医学的最终性质是数学和数字，他幻想数学原则是一切事物的原则，数字比物质世界更具吸引力，数字拥有界定完美和体现现实思想的作用。
命题IV.1
可建一条圆内的弦，使之等于给定的小于直径的线段。
设：ABC为给定的圆，d为给定的小于圆ABC直径的线段。
现在要求的是：在圆ABC内建一条弦，使之等于线段d。
令：作圆ABC的直径BC。
如果BC等于d，那么此线段就不必再作，因为圆的直径BC等于d。
如果BC大于d，取CE等于d，以C为圆心，CE为半径作圆EAF，连接CA（命题I.3）。
那么：因为C点是圆EAF的圆心，那么CA等于CE。
又：CE等于d，所以：d也等于CA。
所以：CA是给定的圆ABC的弦，并等于d（定义IV.7）。
所以：可建一条圆内的弦，使之等于给定的小于直径的线段。
证完
注解
在现代初等几何中，线段、直线、射线若用一个字母表示应为小写字母，点都用大写字母表示，为了方便读者，特将原书中的相关大写字母作相应调整（把表示线段、直线、射线的单个大写字母改为小写）。
假定适应于圆的线段小于圆的直径是必要的，然而欧几里得没有给予充分证明。事实上只需证明两圆交于一个点即点A即可。这一逻辑漏洞在《原本》的前几卷中也有出现，比如在命题I.1和I.22中。
这一命题应用在命题IV.10和IV.16中，也偶尔用在卷X、XI、XII之中。
命题IV.2
给定一个三角形，可作圆内接相似三角形。
设：ABC为给定的圆，DEF为给定的三角形。
现在要求的是：在圆ABC内建一个与三角形DEF相似的三角形。
令：作GH与圆ABC相切于A点；作弦AC，使角HAC等于角DEF，再建角GAB，使之等于角DFE。连接BC（命题III.16、I.23）。
因为：直线AH与圆ABC相切，在切点A上有线段AC穿过圆。
所以：角HAC等于圆周角ABC（命题III.32）。
又：角HAC等于角DEF。所以：角ABC也等于角DEF。同样原因，角ACB也等于角DFE。所以：角BAC也等于角EDF（命题I.32）。
所以：给定一个三角形，可在圆内建一个相似三角形（定义IV.2）。
证完
《周髀算经》中关于勾股定理的证明
《周髀算经》是算经十书之一，它是中国西汉或更早时期的天文历算著作。该书主要阐明当时的盖天说和四分历法。在数学方面，《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法，并最早应用勾股定理。
注解
这一命题应用在命题IV.11、IV.16和XIII.13中。
命题IV.3
给定一个圆和一个三角形，可以作这个圆外切的三角形与给定三角形相似。
设：ABC为给定的圆，DEF为给定的三角形。
现在要求的是：作圆ABC的外切三角形，并与三角形DEF相似。
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