在EF的两个方向上延长，分别至G点和H点。设K为圆ABC的圆心，作任意半径KB。建角BKA等于角DEG，角BKC等于角DFH。过点A、B、C作圆ABC的切线，使之相交于M、N、L（命题III.1）。
因为：LM、MN和NL与圆ABC分别相切于A、B、C点。又，KA、KB和KC是从圆心K分别到A、B、C点的连线。
所以：A、B、C点上的角皆为直角（命题III.18）。
又因为：四边形AMBK四个角的和等于360°，角KAM、KBM是直角。
所以：其余角AKB、AMB之和等于180°。
而角DEG与DEF之和也等于180°。所以：角AKB、AMB之和等于角DEG与角DEF之和。其中角AKB等于角DEG。所以：角AMB等于角DEF（命题I.13）。
同样，也可以证明角L N B也等于角DEF。所以：角MLN等于角EDF（I.32）。
所以：三角形LMN与三角形DEF是相似三角形，且外切于圆ABC（定义IV.4）。
所以：给定一个圆和一个三角形，可以作这个圆外切的三角形与给定三角形相似。
证完
注解
这一命题没有被利用于《几何原本》中的其他地方，但与前一命题构成一对。
命题IV.4
给定一个三角形可以作一个内切圆。
设：ABC为给定的三角形。
现在要求的是：作三角形ABC的内切圆。
令：BD、CD平分角ABC、ACB，并相交于D点，从D点作DE、DF和DG分别垂直于 AB、BC和CA（命题I.9、I.12）。
因为：角ABD等于角CBD，直角BED也等于直角BFD，三角形EBD和FBD有两对角和一条边对应相等，对应边BD为公共边。
所以：他们的余边彼此相等。所以：DE等于DF（命题I.26）。同理，DG也等于DF。
所以：三条线段DE、DF和DG也彼此相等。
所以：以D为圆心，以DE、DF或DG中的任意一条线为半径的圆也经过余下的点，并与线段AB、BC或CA相切，因为在E、F和G点的角是直角。
假如圆不切于这些直线，而与它们相交，那么从尾点引出的垂直于直径的直线必然有一部分经过圆内，这是荒谬的。
所以：以D为圆心，分别以线段DE、DF和DG为半径作的圆不能与线段AB、BC和AC相交，只能相切，所以圆内切于三角形ABC（命题III.16、定义V.5）。
令其为FGE。
于是：三角形ABC的内切圆EFG作了出来。
所以：给定一个三角形可以作一个内切圆。
证完
注解
补充出证明的漏洞是容易的，角等分线BD和CD不相交。
赫龙公式
亚里山大时代的赫龙是希腊非常重要的一名数学家，他在其他著作里评论过《几何原本》，但这些作品后来都失传了。1896年，他的著作《共制》被发现，他在书中陈述到：一个三角形的面积是s(s-a)(s-b)(s-c)的平方根，这里a=BC，b=AC，c=AB，皆为三角形的边，S是周长的一半 (a+b+c)/2。这一公式被后人称为“赫龙公式”。阿基米得或许知道这一公式，但没有确定的证据。赫龙完成了这个公式的证明。这里，我们来看看内切圆的前面部分。
设：D是三角形ABC的内切圆的圆心，DE、DF、DG垂直于边（如欧几里得的证明）。这三条线段是圆的半径，长度为r。
三角形ABD有第三边AB和高r。所以，它的面积是rAB/2。
同样，三角形BCD的面积是rBC/2，三角形CDA的面积是rCA/2，把它们加在一起，我们可以发现三角形ABC的面积是r（AB+BC+CA）/2。
所以，我们可得：三角形ABC面积=rs。这是个有趣的结论。
现在我们不管赫龙的证明，来看看外切圆。
设：A'是A点的内角等分线上的外切圆圆心。从A'引垂线A'E'、A'F'、A'G'，垂直于三角形的边。它们是外切圆的半径r。
三角形ABA'有第三边AB和高A'E'，所以，它的面积是rAB/2。
同样，三角形BCA'的面积是rBC/2，三角形CAA'的面积是rAC/2。
三角形ABC的面积是三角形ABA'与 ACA'之和减去三角形BCA'的差。
所以，它的面积是r（AB+AC－BC）/2，即是r（s－a）。
所以：三角形（ABC）面积=rs=r（s－a）=r（s－b）=r（s－c）。
也可以表示为：。
证完
命题IV.5
给定一个三角形，可以作它的外接圆。
设：ABC为给定的三角形。
现在要求的是：作三角形ABC的外接圆。
令：作点D、E分别平分线段AB、AC；作DF、EF分别垂直于AB、AC并相交于F。那么它们相交于三角形ABC内，或在线段BC上，或在BC外（命题I.10、I.11）。
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