首先：设它们交于三角形ABC内的F点。连接FB、FC和FA。
那么因为AD等于DB，而DF是共同边，并有直角。
所以：第三边AF等于第三边FB（命题I.4）。
同样我们可以证明CF等于AF。所以：FB也等于FC。
所以：三条线段FA、FB和FC也彼此相等。
所以：以F为圆心，以FA、FB或FC中之一为半径的圆被作出，并过余下的点。并且外接于三角形ABC。
再：假设DF和EF的交点F在BC上。连接AF。
那么同样，我们可以证明出点F是三角形ABC的外接圆的圆心。
再：假设DF、EF相交于三角形ABC外一点F，连接AF、BF和CF。
因为AD等于DB，而DF是共同边，并有直角；所以：第三边AF等于第三边BF（命题I.4）。
同样，我们可以证明出CF也等于AF。BF也等于FC。
所以：以F为圆心，以线段FA、FB或FC中之一为半径画圆，也经过余下的点。这就是外接于三角形ABC的圆（定义IV.6）。
所以：给定一个三角形，可以作它的外接圆。
证完
注解
三角形外接圆直径的正弦法则：
r为外接圆的半径。
这一命题应用在命题IV.10和XI.23中。
阿基米得的螺旋水车
阿基米得的螺旋水车是一种汲水灌溉谷物的装置，它可以把低处的水送往高处，水车一端置于水中，只要转动手摇把手，低处的水就随着长筒里的螺旋翼旋转并上升。
命题IV.6
给定一个圆可以建一个内接正方形。
设：ABCD为给定的圆。
现在要求的是作圆ABCD的内接正方形。
令：作圆ABCD的两条直径AC、BD，并相互垂直，连接AB、BC、CD和DA（命题III.1、III.11）。
因为：E为圆心，所以：BE等于ED；EA是公共边，并形成直角，所以：第三边AB等于第三边AD（命题I.4）。
同样原因，线段BC、CD也等于线段AB、AD。所以：四边形ABCD是等边的。
我进一步说：它们是直角。
因为直线BD是圆ABCD的直径；所以：BAD是半圆，所以：角BAD是直角（命题III.31）。
同样原因：角ABC、角BCD和角CDA也是直角。
所以：四边形ABCD是直角的。
又：也已经证明是等边的。它是正方形。并内接于圆ABCD。
所以：给定一个圆可以建一个内接正方形。
证完
注解
这一命题应用在卷XII从XII.2开始的几个命题中。
命题IV.7
给定一个圆可作一个外切正方形。
设：给定的圆为ABCD。
现在要求的是作圆ABCD的外切正方形。
令：作圆ABCD的两条直径AC和BD，并相互垂直。过A、B、C、D各点作FG、GH、HK和KF与圆相切（命题III.1、III.11，推论II.16）。
那么因为：FG与圆ABCD相切，EA是从圆心E到切点A的连线。
所以：A点的角为直角（命题III.18）。同样原因：B点和C点、D点的角也是直角。
那么因为AEB是直角，EBG也是直角。所以：GH平行于AC（命题I.28）。
同样原因：AC也平行于FK，所以：GH也平行于FK（命题I.30）。
同样，我们可以证明出线段GF、HK也平行于BED。
于是：GK、GC、AK、FB和BK也是平行四边形。所以：GF等于HK，GH也等于FK（命题I.34）。
又因为：AC等于BD，AC也等于线段GH、FK，而BD等于GF、HK。
所以：四边形FGHK是等边的（命题I.34）。
我还要进一步说：它们也是直角。
因为GBEA是平行四边形，角AEB是直角。所以：角AGB也是直角（命题I.34）。
同样，我们也可以证明出在H、K和F点上的角为直角。所以：FGHK是矩形。
而它又被证明是等边的，所以：它是正方形。且外切于圆ABCD。
所以：给定一个圆可作它的外切正方形。
证完
注解
这一命题应用在命题XII.10中。
命题IV.8
给定一个正方形可以建一个内切圆。
设：ABCD为给定的正方形。
现在要求的是：作正方形ABCD的内切圆。
令：平分AD、AB，平分点为E和F。
过E点作EH平行于AB或CD；过F点作FK平行于AD或BC。那么AK、KB、AH、HD、AG、GC、BG和GD都是平行四边形，其对边相等（命题I.10、31、34）。
那么因为AD等于AB，AE是AD的一半，AF是AB的一半。所以：AE等于AF。所以：对边也相等。所以：FG等于GE。
同样，我们也能证明出线段GH、GK分别等于FG、GE。
所以：四条线段GE、GF、GH和GK相等。
所以：以G为圆心，分别以GE、GF、GH和GK之一为半径的圆经过余下的点。并与线段AB、BC、CD和DA相切，因为在E、F、H和K点上的角为直角。
这章没有结束^.^，请点击下一页继续阅读！