假如圆与AB、BC、CD和DA相切，则从尾点与直径形成直角的线段将落在圆内，这被证明是荒谬的。
所以：以G为圆心，分别以GE、GF、GH和GK之一为半径的圆不可能与直线AB、BC、CD和DA相交（命题III.16）。
所以：这个圆与它们相切，并建立在正方形ABCD内。
所以：给定一个正方形可以建一个内切圆。
证完
命题IV.9
给定一个正方形可以作一个外接圆。
设：ABCD为给定的正方形。
现在要求的是：作正方形ABCD的外接圆。
令：连接AC、BD，使其相交于E点。
那么因为：DA等于AB，AC是公共边；所以：DA、AC等于AB、AC，底DC等于底BC。
所以：角DAC等于角BAC（命题I.8）。
所以：角BAD被AC线平分。同样，我们可以证明出角ABC、BCD和角CDA被线AC、BD平分。
因为：角DAB等于角ABC，角EAB是角DAB的一半，角EBA是角ABC的一半；所以：角EAB也等于角EBA。
所以：EA边也等于EB边（命题I.6）。
同理，线段EA、EB也等于线段EC、ED。
所以：四条线段EA、EB、EC和ED彼此相等。
所以：以E为圆心，以EA、EB、EC或ED之一为半径的圆经过余下的点，并外接于正方形ABCD。
所以：给定一个正方形可以建立它的外接圆。
证完
注解
这是圆与正方形的四个命题中的一个。证明是简单明了的。
命题IV.10
可以建一个等腰三角形，两个底角皆等于顶角的两倍。
设：取任意线段AB，在C点被切分，那么AB与BC构成的矩形的面积等于CA为边的正方形的面积。以A为圆心，AB为半径建圆BDE，作圆内线段BD等于AC，AC不大于圆BDE的直径（命题II.11、V.1）。
令：连接AD、DC，在三角形ACD上建外接圆ACD（命题IV.5）。
那么因为：AB、BC构成的矩形的面积等于AC为边的正方形，又AC等于BD。所以：AB、BC构成的矩形面积等于BD上的正方形面积。
又因为B点为圆ACD外的一点，从B点有两条线段BA、BD与圆ACD相遇，其中的一条穿过圆，另一条则落在圆上，又AB、BC构成的矩形等于BD上的正方形。所以：BD与圆ACD相切（命题II.37）。
习题
对于延续了长达4000年的文明社会来说，埃及只给人们留下了很少的宝贵数学史料。古希腊人普遍承认他们的数学，特别是几何学源于埃及，可给人们印象最深的不是埃及和古希腊数学的相似之处，而是二者在风格上、深度上以及由此可以推测的理解上的巨大差异。图为公元前1650年的埃及纸莎草抄本，它是一份约公元前1849年至1801年古老纸莎草抄本的副本，上面满是学生习题，正如现代学生的学校作业一样。
毕达哥拉斯定理
在阿拉伯帝国的历史上，包括后来的伊儿汗国和更晚的帖木耳帝国，都曾先后出现过许多数学家。他们为阿拉伯数学的形成与发展作出了重大贡献。巴格达智慧宫的学者们掀起的著名的翻译运动，将古希腊的天文数学经典以及印度、中国的天算著作翻译成阿拉伯文，加上他们自身的创造，使得阿拉伯数学在算术与代数几何及三角领域取得了光辉的成就。图为阿拉伯教科书所讨论的毕达哥拉斯定理，其证明沿袭了欧几里得的“风车磨房”图表的几何证明手法。
因为：BD与之相切，DC是从D点延伸的穿过圆的线。所以：角BDC等于相对弓形上的角DAC（命题III.32）。
因为：角BDC等于角DAC，令：每个角加CDA。于是：大角BDA等于两个角CDA与DAC的和。
又：外角BCD等于CDA、DAC之和；所以：角BDA也等于角BCD（命题I.32）。
又：角BDA等于角CBD，因为AD也等于AB。所以：角DBA也等于角BCD（命题I.5）。
所以：三个角BDA、DBA和BCD彼此相等。
又因为角DBC等于角BCD。所以：边BD也等于边DC（命题I.6）。
又：BD等于CA，所以：CA也等于CD。所以：角CDA也等于角DAC。
所以：角CDA、DAC之和等于角DAC的两倍（命题I.5）。
又：角BCD等于角CDA、DAC之和。所以：角BCD是角CAD的两倍。
又：角BCD等于角BDA，也等于角DBA。
所以：角BDA、DBA也分别是角DAB的两倍。
所以：可以建一个等腰三角形，两个底角皆等于顶角的两倍。
证完
注解
这一命题的目的是建一个36°－72°－72°的等腰三角形ABD，实际上是在给定的AB上建立，当AB被C点所切割时，第三边等于AB的较大的部分，因此，AB·BC=AC这一切割在命题II.11中已证明。
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