这一命题应用在下一命题中，以建圆的内接正五边形。
命题IV.11
在一个圆里，可以建一个内接正五边形。
设：ABCDE为给定的圆。
现在要求的是：在圆ABCDE内建一个内接正五边形。
令：建等腰三角形FGH，使两角G、H分别等于角F的两倍。在圆ABCDE内建三角形ACD等角于三角形FGH。
于是：角CAD、ACD和角CDA等于对应角F、G、H。
所以：角ACD、CDA也等于角CAD的两倍（命题IV.10、V.2）。
分别作平分线CE、DB平分角ACD、CDA，连接AB、BC、DE和EA（命题I.9）。
因为：角ACD、CDA是角CAD的两倍，并被CE、DB平分。所以：五个角DAC、ACE、ECD、CDB和BDA彼此相等。
怀特海
阿尔弗雷德·诺斯·怀特海（1861—1947年），英国哲学家、数学家、伦敦大学应用数学教授、哈佛大学哲学教授。怀特海宣扬“新实在论”，认为上帝把连续不断的经验的事物和独立存在的“永恒客体”结合而形成宇宙的一切，科学所研究的只是被感知的自然。主要著作有《数学原理》（与其学生罗素合著）、《科学与近代世界》等。
又：等角所对的弧相等。
所以：五段弧AB、BC、CD、DE和EA彼此相等（命题III.26）。
又：等弧所对的弦相等；所以：五条弦AB、BC、CD、DE和EA彼此相等。
所以：A B C D E是等边的（命题III.29）。
我还要进一步说：它们是等角的。
因为：弧AB等于弧DE，令：每个加上BCD。于是：大弧ABCD等于大弧EDCB。
在弧ABCD上有角AED，在弧EDCB上有角BAE；所以：角BAE也等于角AED（命题III.27）。
同理，角ABC、BCD和角CDE也等于角 BAE、AED。
所以：五边形ABCDE是等角的。
又已经证明出它是等边的。所以：在一个圆里，可以建一个正五边形。
证完
命题IV.12
给定一个圆，可以建它的外切正五边形。
设：ABCDE为定圆。
要求作圆ABCDE的外切正五边形。
令：A、B、C、D和E为五边形的五个顶点，那么：圆周AB、BC、CD、DE和EA彼此相等。过A、B、C、D和E作GH、HK、KL、LM和MG，使之与圆相切，F为圆ABCDE的圆心。连接FB、FK、FC、FL和FD（命题II.16、II.1）。
那么因为：线段KL与圆ABCDE相切于C点，FC是圆心F与切点C的连线。
所以：FC垂直于KL。
所以：C点上的所有角是直角（命题III.18）。
同样理由，B点和D点上的角也为直角。
又因为角FCK是直角；所以：FK上的正方形面积等于FC、CK上的正方形面积之和（命题I.47）。同样，FK上的正方形面积也等于FB、BK上的正方形面积之和。
所以：FC、CK上的正方形面积之和等于FB、BK上的正方形面积之和。
其中，FC上的正方形面积等于FB上的正方形面积。所以：余下的CK上的正方形面积等于BK上的正方形面积（命题I.47）。所以：BK等于CK。
又因为：FB等于FC，FK是公共边，BF、FK等于CF、FK，底BK等于底CK。所以：角BFK等于角KFC，角BKF等于角FKC。所以：角BFC是角KFC的两倍，角BKC是角FKC的两倍（命题I.8）。
同样理由，角CFD也是角CFL的两倍，角DLC是角FLC的两倍。
那么因为弧BC等于弧CD，所以：角BFC也等于角CFD（命题III.27）。
又：角BFC是角KFC的两倍，角DFC是角LFC的两倍。所以：角KFC也等于角LFC。又：角FCK也等于角FCL，所以：三角形FKC、FLC中，有两对角和一条边对应相等，即FC是它们的公共边。所以：它们的余边相等，余角也相等。
所以：线段KC等于线段CL，角FKC等于角FLC（命题I.26）。
又因为KC等于CL，所以：KL是KC的两倍。同理可证，HK是BK的两倍。
而BK等于KC，所以：HK也等于KL。
同理，线段HG、GM和ML也能被证明等于线段HK、KL。
所以：五边形GHKLM是等边的。
我还要进一步说它是等角的。
因为：角FKC等于角FLC，角HKL被证明是角FKC的两倍，角KLM是角FLC的两倍。所以：角HKL也等于角KLM。
同理，角KHG、HGM和角GML也能被证明出等于角HKL、KLM。
所以：五个角GHK、HKL、KLM、LMG和MGH彼此相等。
所以：五边形GHKLM是等角的。
同时也证明出它是等边的，并建立在圆ABCDE上。
所以：给定一个圆，可以建它的外切正五边形。
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