这一命题应用在命题III.24中。
命题III.11
两圆内切，连心线的延长线过切点。
设：两圆ABC和ADE相切于A点，F为圆ABC的圆心，G为ADE的圆心（命题III.1）；
那么我说：从G到F的连线的延长线将落在A点上。
假设不是这样，如果这是可能的，设连线为FGH，且连接AG、AF；
因为：AG、GF的和大于FA，即是说大于FH。
令：以上各边减去FG，那么，余下的AG大于余下的GH（命题I.20）；
但是AG等于GD。
故GD也大于GH，于是小大于大，这是不可能的；
所以：从F到G的连线不落在圆外。所以：落在两圆的切点A上。
所以：如两圆内切，其圆心已知，那么连接两圆心的直线，通过两圆的切点。
证完
注解
这一证明的各种结论，依赖于图形，却并未依赖于严格的推理逻辑。盖玛等数学家补充过该命题证明过程的漏洞。
这一命题应用在命题III.13中。
命题III.12
两圆外切，连心线过切点。
设：两圆ABC、ADE外切于点A上，F为ABC的圆心，G为ADE的圆心（命题III.1）；
那么我说：直线FG必定经过切点A。
假设不是，如果可能，让它穿过如FCDG，连接AF、AG；
那么因为：F点为圆ABC的圆心；所以：FA等于FC；
又因为：G点是圆ADE的圆心；所以：GA等于GD；
而FA也已经证明出等于FC，于是：FA加AG等于FC加GD。
所以：FG大于FA加AG，但它也小于FA加AG，这是不可能的（I.20）；
所以：从F点引直线至G不能不经过切点A。
所以：如果两圆外切，那么连接两圆心的直线必定过切点。
证完
注解
显然，这一命题是后人加在欧几里得《原本》上的，有可能是赫龙所加，也有可能是后来的其他编著或评论者所加。
这一命题没有在《原本》中的其他地方被利用。
命题III.13
两圆相切，只有一个切点。
假设两圆相切不止一个切点，设圆ABDC与圆EBFD首先内切于两个点，假设为D、B点，连接ABDC的圆心G和EBFD的圆心 H（命题III.1）；
那么：连接G、H点的直线经过B、D点（命题III.11）；
且假定为BGHD；
那么因为：点G是圆ABDC的圆心，而BG等于GD。于是BG大于HD；于是：BH就比HD大得多；
又因为：H点是圆EBFD的圆心，BH等于HD，但同时又被证明BH比HD大得多，这是不可能的。
所以：内切圆不能有两个以上的切点。
我还要进一步说：这一命题也适合于外切圆。
假设两圆外切不止一个切点，设圆ACK与圆ADC相切有一个以上的切点，设为A、C点，连接AC，那么因为无论是圆ADC还是圆ACK，A、C为任意的两点，连接该两点的直线必然落在每个圆的内部，但是它应该落在圆ADC之内又落在圆ACK之外，这是荒谬的（命题III.2、定义III.3）。
所以：一个圆与另一个圆相外切不能有一个以上的点。同样，已证明两圆内切，也不能有一个以上的点。
所以：一个圆与另一个圆相切，无论内切还是外切，不能有一个以上切点。
证完
注解
这是第二个不可能图形。有三条曲线连接A和C。并没有假定两个圆相交，而只是相切于两个点A和C，线段AC应在两个圆内而不是一个圆内。
这一命题的证明也有逻辑裂缝，如上两个命题的证明过程一样。
本命题再未在《原本》中的其他地方被利用。
莱布尼茨手迹
1676年，莱布尼茨前往伦敦，同艾萨克·牛顿圈子里的数学家们进行了探讨，这在后来引发了一场小微积分的发明者究竟是他还是牛顿的激烈争论，莱布尼茨的第一篇微积分论文于1684年发表，时间比牛顿《原理》的出版早三年，这使得它成为世界上最早的微积分文献。图为莱布尼茨1675年手稿，上面出现了最早的积分号。
命题III.14
同圆内，相等弦的弦心距相等，相等的弦心距对应的弦相等。
设：AB、CD为圆ABDC内的相等弦；
那么我说：AB、CD到圆心的距离相等。
令：E为圆ABDC的圆心，从E作EF、EG，分别垂直于AB、CD，连接AE、EC（命题III.1、I.12）。
因为：线段EF经过圆心，平分一条未经过圆心的弦AB，并构成直角。所以：AF等于FB。所以：AB是AF的两倍（命题III.3）；
同理可证：CD亦是CG的两倍，而AB等于CD。于是：AF也等于CG。
又因为AE等于EC，那么以AE为边的正方形的面积也等于以EC为边的正方形的面积；
于是：AF、EF为边的正方形的面积之和等于AE为边的正方形的面积；又因为在F点的角为直角。
于是：EG、GC为边的正方形的面积之和等于EC为边的正方形的面积；因为在G点的角为直角。
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