所以：AF、FE为边的正方形的面积之和等于CG、GE为边的正方形的面积之和，AF为边的正方形面积等于CG为边的正方形的面积，因为：AF等于CG。
所以：余下的FE为边的正方形的面积等于EG为边的正方形的面积。
所以：EF等于EG（命题I.47）。
又：当弦心距相等时，这些弦叫做等弦心距的弦，所以：AB、CD的弦心距相等。
另，设AB、CD有等弦心距，即EF等于EG。
那么我说：AB也等于CD。
同前理，我们可以证明AB是AF的两倍，CD是CG的两倍。因为AE等于CE，AE为边的正方形的面积等于CE为边的正方形的面积。
EF、FA为边的正方形的面积之和等于AE为边的正方形的面积，EG、GC为边的正方形的面积之和等于CE为边的正方形的面积（命题I.47）。
所以：EF、FA为边的正方形的面积之和等于EG、GC为边的正方形的面积之和，其中因为EF等于EG，故EF为边的正方形的面积等于EG为边的正方形的面积；
所以：余下的AF为边的正方形的面积等于CG为边的正方形的面积；所以：AF等于CG，AB是AF的两倍，CD是CG的两倍。
所以：AB等于CD。
所以：圆内的相等弦，到圆心的距离亦相等；到圆心距离相等的弦彼此相等。
证完
注解
注意：欧几里得证明了两次三角形边角相等的定理。
这一命题用在下一命题中。
命题III.15
圆内越靠近圆心的弦越长，直径是最长的弦。
设：圆为ABCD，AD是其直径，E为圆心，作BC靠近圆心弦AD，FG为较远弦。
那么我说：AD最长，且BC大于FG。
令：从圆心E作EH、EK，使之分别垂直于BC、FG（命题I.12）；
因为：BC靠近圆心，FG离圆心较远。所以：EK大于EH（定义III.5）；
令：EL等于EH，过L作LM垂直于EK，并经过点N；再连接ME、EN和EF、EG（命题I.3、I.11）；
因为EH等于EL，所以：BC也等于MN（命题I.3、I.11）；
又因为AE等于EM，ED等于EN，所以：AD等于ME、EN之和；
又因为：ME、EN之和大于MN，MN等于BC。所以：AD便大于BC（命题I.20）；
又因为：ME、EN两边等于FE、EG两边，角MEN大于角FEG。所以：第三边MN大于第三边FG（命题I.24）。
而MN又被证明等于BC。所以：直径AD为最大，BC大于FG。
所以：圆内弦直径为大，越靠近圆心的弦越大。
证完
罗马数字和阿拉伯数字
罗马数字是五进位的简单累数制，12世纪前盛行于欧洲。罗马记数法相当笨拙，它使得算术四则运算非常复杂，在一定程度上阻碍了数学的发展。图为16世纪的教科书。该教科书的编者认为：应有必要提醒读者罗马数字和阿拉伯数字之间的关系。实际上，至今在某种场合我们仍在使用罗马数字。
注解
这一命题在《几何原本》中的其他地方再未被利用。
命题III.16
从圆的直径的端点作垂直于直径的直线。该直线落在圆外；且在该线与圆周之间不可能插入第二条直线；且半圆角大于任何锐角；而余下的角小于任何锐角。
设：圆为ABC，D为圆心，AB为直径；
那么我说：从A点作垂直于AB的直线一定落在圆外。
如果可能，假定落在圆内如CA，连接DC。
因为：DA等于DC，角DAC也等于角ACD（命题I.5）。
而角DAC是直角，于是角ACD也是直角；于是在三角形ACD中，DAC、ACD两角之和等于180°，这是不可能的（命题I.17）；
所以：从A点引出的垂直于AB的线不落在圆内。
同样，我们可以证明不能落在圆周上，所以它只能落在圆外。
设：该直线为AE。
那么我要进一步说：在直线AE与圆弧CHA之间不可能存在第二条线。
假设它们之间存在第二条直线，我们假定它为FA，从D点作DG垂直于FA（命题I.12）。
因为：AGD为直角，而角DAG小于直角，所以AD大于DG（命题I.17、I.19）。
又：DA等于DH，于是：DH大于DG，于是小大于大，这是不可能的。
所以：在这个平面上，不可能在该直线与圆周之间再引出另一条直线。
我还要进一步说：直径AB与圆弧CHA所包含的半圆角大于任何锐角，其余角即CHA与AE包含的角小于任意锐角。
因为，如果有某一直线角大于由直线BA与圆弧CHA包含的角，而且某一直线角小于由圆弧CHA与直线AE所包含的角。
那么，在平面内，在圆弧CHA与直线AE之间可以插入直线包含这样一个角，是由直线包含的，而它大于直线BA与圆弧CHA包含的角，而且直线包含的其他的角皆小于由圆弧CHA与直线AE包含的角。
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