我要进一步说：从D点到圆只有两条相等的线段，它们位于DG线的两侧。
令：在线段MD上的M点，建角DMB等于角KMD，连接DB（命题I.23）；
那么因为MK等于MB，MD是公共边。所以：KM、MD两边等于对应的BM、MD两边，且角KMD等于角BMD。所以：第三边DK等于第三边DB（命题I.4）。
我还进一步说：从D点不可能有另一条到圆的线段等于DK；
假设：这是可能的，假定这条线段是DN，于是DK等于DN。DK等于DB，DB也等于DN，即是说，离最短线段DG越近的线段等于离它越远的线段，这是不可能的；
所以：从D点到圆ABC没有第二条线能够位于最短的DG的一侧。
所以：圆外的一点向圆引线段，其中的一条穿过圆心，其余是任意线。那么在凹圆弧上的连线中，穿过圆心的线段最长，其余的线段中，离这条线段越近则越长；在与圆凸面的连线中，该点与直径之间的线段最短，其余的线段离这条线段越近则越短；且从这一点到圆周上的连线中，只有两条线段相等，它们分别位于最短的线段两侧。
证完
注解
这一命题的陈述比前一命题更加复杂。这一命题处理从圆外的某一点D到圆周上的距离。如果直径AG的延长线过D，那么，它的一个终点G是在圆周上并最接近D，且另一点A是最远的一点。因为一个点从A到D沿圆周旅行，尽量靠近D。欧几里得认为圆周分为两个部分，凸起的部分是靠D点近的，同时凹的部分是圆的边较远的部分。最后的陈述是，如果K是圆周上的一个点，那么圆周上有一个正确的点B到D的距离相等（当然K既不是G也不是A，这只是一种假定）。
汉帛书《彗星图》
中国古代天文学的成就，包括阴阳历法的制定、天象观测、天文仪器制造和使用以及构造宇宙理论。至汉代，中国已形成独特的天文和历法体系。《汉书·五行志》中记录了公元前28年3月的太阳黑子现象，《汉书·天文志》中记载了公元前32年10月24日的极光现象。马王堆出土的29幅彗星图对彗星的观测非常细致，不仅注意到彗头、彗尾和彗核，而且还知道彗头和彗尾有不同的类型。
注意：这一命题的证明同前一命题一样，也有一个逻辑漏洞。后来的许多数学家，补充过该漏洞。
这一命题在《原本》中的其他地方再没有被利用过。
命题III.9
如果自圆内一点作出的到圆上的线段有两条以上相等，那么该点即圆心。
设：D点在圆ABC内，从点D引出的到圆上的两条以上的相等线段为DA、DB和DC。
那么我说：D点即为圆ABC的圆心。
令：连接AB、BC，并在E、F点平分两条线，连接ED、FD，并延长至G、K、H和L（命题I.10）；
因为：AE等于EB，而ED为公共边。那么AE和ED就等于BE和ED。又第三边DA等于第三边DB。
所以，三角形AED全等于三角形BED（命题I.8）。
所以：角AED与BED皆为直角。所以：GK平分AB为相等的两部分并为直角。
又因为：如果圆中的一条线切分另一条线为相等的两部分并构成直角，那么圆心一定落在这条切割线上。
所以：圆心一定在GK线上（定义III.1）；同理，圆ABC的圆心是在HL上；
又因为：线段GK和HL没有共同的点，只有D点。所以：点D即为圆ABC的圆心。
所以：如果自圆内一点作出的到圆上的线段有两条以上相等，那么该点即圆心。
证完
注解
这一命题的陈述，被命题III.7所覆盖。
这一命题应用在命题III.25中。
命题III.10
两圆相交，交点不多于两个。
设：假如可能，圆ABC与圆DEF相交，交点超出两个，即为B、G、F和H；
令：连接BH、BG，并在K、L点分别平分两线。从K、L点作KC、LM，使之分别垂直于BH、GB，并经过A、E点（命题I.10 、I.11）。
因为：在圆ABC中弦AC平分了BH并构成直角。所以：ABC的圆心在AC上。
又因为：在同一圆ABC里，弦NO平分弦BG为相等的两半并构成直角。所以圆ABC的圆心在NO上（定义III.1）；
但已经证明它也在AC上，而弦AC与NO除了P点外没有相交的点。所以：点P也是圆ABC的圆心。
同样：我们可以证明P点也是圆DEF的圆心。于是两个相交的圆ABC、DEF也有相同的圆心P，这是不可能的（命题III.5）。
所以：两圆相交，其交点不能超出两个。
证完
注解
这是另一个不可能的图形。曲线被设想成圆的圆周，这是不可能作出的。虽然欧几里得命名了圆上的四个点，但实际上只有三个点B、G、H在证明中被利用。
这一证明实际是证明两个圆不能相交于两个以上的点，这里的“相交”不是相切。
赫斯评论道，平分BG、BH的线段并未证明是相交的，事实上，它们是，因为圆ABC的圆心被证明在它们二者上面。
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