那么因为：在任意三角形中两条边的和大于第三边。所以：EB与EF的和大于BF（命题I.20）；
又：AE等于EB，所以：AF大于BF；又因为：BE等于CE，而FE是公共边。所以：BE与EF的和等于CE与EF的和。
又：角BEF也大于角CEF；所以：边BF也大于边CF（命题I.24）；同理：CF也大于GF。
又因为：GF与FE的和也大于EG，EG等于ED，GF与FE的和也大于ED（定义I.20）；
令：从每个中减去EF；于是：其余数GF也大于其余数FD。所以：FA最大，FD最小，FB大于FC，而FC大于FG。
我要进一步说：从F点到圆周的线段中只有两条相等，它们分别位于FD的两侧。
令：在直线EF的E点上建角FEH，使之等于角GEF，连接FH（命题I.23）；
那么因为：GE等于EH，而EF是公共边，GE、EF两边等于HE、EF两边。
又：角GEF等于角HEF。所以：边FG等于边FH（命题I.4）。
我再进一步说：另一条等于FG的直线不会从F点落到圆周上。
假如可能，假如这条线FK成立；那么因为：FK等于FG。
又：FH等于FG，FK也等于FH。于是：靠近穿过圆心的线段等于离得较远的线段。
第二代分析机
19世纪中叶，尽管那时已发明了对数，但是，现有的算盘等简单计算工具已不能满足人们日益增长的对精确和复杂计算的更高需求，英国数学家巴贝奇为了设计一套依靠机器驱动的计算器，花费了一生中大半的时间来进行研究，但始终未能完成。图为1835年至1848年期间，巴贝奇设计的第二代分析机。
这是不可能的。
所以：等于GF的另一条线段不会是从F点到圆周。
因此：只有一条线段成立。
所以：连接直径上的非圆心的一点和圆上任一点所得的线段中，最长的是圆心所在的线段，且在其余线段中，靠近圆心的线段较远离的长；这一点到圆上有两条线段相等，它们各在最短线段的一边，同一直径上余下的一段最短。
证完
注解：
这一命题的陈述有些令人费解，涉及从圆内的一点F到圆周上的一点的距离。点F被假定不是圆心。如果直径AD过F，那么A点上的某一个点是在圆周上离F点最远，且另一点D为最近。由于一个点从 A到D在圆周上旅行，它向F点靠近。这一陈述的最后部分是，如果G是圆周上的一点，那么，有另外一个点H是在圆周上，它与F的距离相等（当然G既不是A也不是D，这只是一种假定）。
注意：这一命题的陈述是含混的。短语“靠近过圆心的线段”到底是什么意思？它是指角吗？于是FB比FC更靠近FA，因为，角BFA小于角CFA。如果是这样，证明的过程就有细节的疏漏，角BEF大于角CEF，然而却没有证明。德·摩根马曾插入多种证明方式来弥补过这一逻辑漏洞。
这一命题在《原本》中的其他地方再未被利用过。
命题III.8
圆外的一点向圆引线段，其中的一条穿过圆心，其余是任意线。那么在凹圆弧上的连线中，穿过圆心的线段最长，其余的线段中，离这条线段越近则越长；在与圆凸面的连线中，该点与直径之间的线段最短，其余的线段离这条线段越近则越短；且从这一点到圆周上的连线中，只有两条线段相等，它们分别位于最短的线段两侧。
设：ABC为圆，D为圆外的一点，从D点连接DA、DE、DF、DC，使DA穿过圆心。
那么我说：在凹圆弧AEFC各点与D构成的线段中，穿过圆心的DA线段最长，DE大于DF，DF大于DC；在凸圆弧HLKG各点与D构成的线段中DG最短，越靠近DG的线段越短。即DK小于DL，DL小于DH。
令：圆ABC的圆心为M，连接ME、MF、MC、MK、ML和MH（命题III.1）；
那么因为：AM等于EM，令它们各边加上MD。
于是：AD等于EM与MD的和；
又因为：EM与MD的和大于ED。所以：AD也大于ED（命题I.20）；
又因为：ME等于MF，MD又是公共边。所以：EM与MD的和等于FM与MD的和。
又因为：角EMD大于角FMD。所以：第三边ED大于第三边FD（命题I.24）；同样，我们可以证明FD大于CD。所以：DA就为最大，DE大于DF，而DF大于DC；
又因为：MK与KD的和大于MD，而MG等于MK。于是余数KD大于余数GD。所以：GD小于KD（命题I.20）；
又因为：在MD上的三角形MLD，两条线段MK、KD交于三角形内。
所以：MK、KD的和小于ML、LD的和。
又：MK等于ML。
所以：余数D K小于余数D L（命题I.21）；
同样，我们可以这么认为，DL也小于DH。所以：DG为最小，DK小于DL，DL小于DH。
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