这一命题应用在下一命题中。
命题III.3
平分非直径的弦的直径垂直于这条弦；反之，垂直于弦的直径平分这条弦。
设：CD是通过圆ABC圆心的直径，平分不过圆心的弦AB于F点。
那么我说：CD垂直于AB。
令：找到圆ABC的圆心E，连接EA、EB（命题III.1）；
那么因为AF等于FB，而FE为公共边，两边相等，并第三边EA等于第三边EB，所以：角AFE等于角BFE（定义I.15、I.8）；
又因为：一条直线与另一条直线相交，所形成的邻角相等时，每个角皆为直角，所以：角AFE、BFE皆为直角（定义I.10）；
所以：过圆心的线CD与不过圆心的线AB相交成直角。
又设CD和AB垂直。
那么我说：CD二等分AB，即AF等于FB。即为平分线。
因为：EA等于EB，那么：角EAF也等于角EBF（命题I.5）；又因为：直角AFE等于直角BFE。
所以：EAF与EBF是有两个角和一条边相等的三角形，EF为公共边，即相等角的对边；所以：它们的余边也就相等（命题I.26）；所以：AF等于FB。
所以：如果一条过圆心的弦与另一条不过圆心的弦相交形成直角，那么它也必然是平分线。
证完
注解
比较这一命题与命题III.1的推论。
这一命题应用在下一命题中，也用在命题XII.16及其他命题中。
命题III.4
在一个圆里，如果两条相交的弦不经过圆心，那么它们也不能互相平分。
设：ABCD为圆，两条弦为AC、BD，皆不经过圆心，彼此相交于E点。
那么我说：它们不相互平分。
因为，如果可能，假设它们相互平分，那么：AE就等于EC，且BE等于ED。
令圆心为F，连接FE（命题III.1）。
又因为：过圆心的弦FE平分不过圆心的弦AC，并构成直角。所以：角FEA为直角。
又因为：弦FE平分弦BD，它们也形成直角，即FEB为直角。而角FEA被证明也为直角。所以：角FEA也等于角FEB。于是：小等于大。这是不可能的（命题III.3）。
所以：AC、BD不能相互平分。
所以：在一个圆里，如果两条相交的弦不经过圆心，那么它们也不相互平分。
证完
注解
这一陈述的逆否命题是，如果两条弦相互平分，那么它们相交于圆心。
这一命题在《原本》中未被再利用。
命题III.5
如两圆相交，那么它们不能有相同的圆心。
设：圆ABC、CDG相交于B、C点；
宋刻《九章算术》
在中国数学史上，《九章算术》一直保持着重要的地位，原始的《九章算术》已经和后来加入的大量评注融为一体。《九章算术》现存的最古老的版本写于13世纪，但这只是该书的一部分，更完整的版本写于18世纪。《九章算术》包括246个问题。每个问题由陈述、数值答案及解题方法三个部分组成。
那么我说：它们不能有相同的圆心。
假定可能，假定它们有相同的圆心为E，连接EC，任意连一条线EFG；
那么因为：E为圆ABC的圆心，于是：EC就等于EF。又因为：E为圆CDG的圆心，那么EC就等于EG（定义I.15）；而EC已被证明也等于EF；
所以：EF也等于EG。于是：小等于大。这是不可能的。
所以：点E不是圆ABC、CDG的圆心。
所以：两相交圆不能有相同的圆心。
证完
注解
注意，这一证明实际上表现了如果两个圆相交，那么它们不可能有相同的圆心，这也涉及下一道命题的两圆相切。
这一命题应用在命题III.10中，以陈述圆不能相交于两个点以上。
命题III.6
如果两圆相切，它们不能有相同的圆心。
设：圆ABC、CDE相切于C点；
那么我说：它们不能有相同的圆心。
假定可能，设它们有相同的圆心为F，连接FC，过F点作任意一线FEB；
因为F是圆ABC的圆心，那么FC等于FB。
又因为F是圆CDE的圆心，那么FC等于FE（定义I.15）；而FC被证明等于FB。所以FE也等于FB。于是小等于大。这是不可能的。
所以：F不是圆ABC、CDE的圆心。
所以：两圆相切不能有相同的圆心。
证完
注解
这一命题同于前一命题，两种情况用一种陈述，相交圆不能同圆心；反之，同心圆不能相交。
这一命题未在本书的其余地方被利用。
命题III.7
连接直径上的非圆心的一点和圆上任一点所得的线段中，最长的是圆心所在的线段，且在其余线段中，靠近圆心的线段较远离的长；这一点到圆上有两条线段相等，它们各在最短线段的一边，同一直径上余下的一段最短。
设：圆ABCD，AD为直径，F为直径上的非圆心的一个点，E为圆心，从F点引线段FB、FC、FG；
那么我说：FA为最长，FD最短，FB大于FC。FC又大于FG。连接BE、CE和GE。
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