数决定了万物的比例关系，和谐就是这一关系的外在表现。世界万物尽管各不相同，但它们只要相互保持一种数的比例关系，达到平衡，就会呈现和谐状态，即使像无限与有限、奇与偶、一与多、右与左、阴性与阳性、静与动、直线与曲线、明与暗、善与恶等等一些对立者，仍会相互契合、相互谐调而达和谐统一。
本卷涉及比例、几何级数，给出了许多关于数论的重要定理。
构成第九号
在这幅《构成第九号》作品中，似乎一切东西都没有规则性可言，我们无法在混乱的画面中辨认出具体的物象，就好像在我们的精神世界中有什么东西一闪而过，但却无法清晰地辨认出来。
本卷提要
※命题IX.14，没有质数能除尽另一些质数的乘积。这是算术的一个基础理论。
※命题IX.20，存在无穷多个质数。
※命题IX.23，奇数相加其和亦为奇数。
※命题IX.35，怎么得到等比级数之和。
※命题IX.36，关于完全数。
又因为：a和b是相似平面数，所以：一个比例中项落在a、b之间（命题VIII.18）。
命题IX.1
如果两个相似的平面数相乘得出某一个数，那么这个乘积是平方数。
设：a和b是两个相似的平面数，a与b相乘得c。
那么我说：c是个平方数。
设a自乘得d，那么d是平方数。
因为：a自乘得d，且a乘以b得c，所以：a比b等于d比c（命题VII.17）。
因为：如果在两个数之间有多少个成连续比例的数，那么在有相同比的数之间也有同样多个成连比的数。于是：在d和c之间也有一个比例中项。
又，d是平方数，所以：c也是平方数（命题VIII.22）。
所以：如果两个相似的平面数相乘得出某一个数，那么这个乘积是平方数。
证完
阿尔罕布拉宫的大清真寺
阿尔罕布拉宫是12、13世纪时期西班牙摩尔人统治者在高山顶部建立的一座堡垒及宫殿，它是伊斯兰建筑中的典范。这张内部速写图显示了其典型的马蹄形拱门以及深邃的空间。1924年，匈牙利数学家在著名的关于平面对称群的论文中证明这样的群共有17种，而出现在阿尔罕布拉宫的就有5种。在没有借助任何数学知识的情况下，埃舍尔在以后的研究中发现了所有17种可能性，他以艺术家的感性眼光，发现了数学家打开的理性之门后的美丽花园。
注解
这是第IX卷的第一命题，实际上也是第VIII卷比例的继续。
假定两个平面数a=18 ，b=8， 根据命题VIII.18， 它们中就有一个比例中项，即12，这一比例中项的平方数是它们的乘积，ab=144。
不清楚为什么不使用更简单的结论来证明，即比例中项的平方数是它们的乘积，而要用更复杂的。
设：a 和b 是给定的两个平面数。那么，它们中就有一个比例中项（命题VIII.18）。又，因为a∶b=a∶ab，所以：在a 和ab中也就有一个比例中项（命题VIII.1）。但因为：a 是一个平方数，所以：ab 也是一个平方数（命题VIII.22）。于是：原始相似平面是一个平方数。
下一命题IX.2 是本命题的逆命题。这一命题应用在命题X.29中。
命题IX.2
如果两个数相乘得一个平方数，那么这两个数也是相似平面数。
设：a、b两个数，a乘以b得平方数c。
那么我说：a和b也是相似平方数。
令：a自乘得d，那么d是平方数（命题VII.17）。
因a自乘得d，a乘b得c，所以a比b等于d比c。
又因为：d是平方数，而c也是平方数，所以：d和c是相似平面数。
所以：一个比例中项数落在d、c之间。
又，d比c等于a比b，所以：一个比例中项数也落在了a、b之间（命题VIII.20）。
而，如果一个比例中项数落在两个数之间，那么它们是相似平面数，所以：a和b是相似平面数（命题VIII.20）。
所以：如果两个数相乘得一个平方数，那么这两个数也是相似平面数。
证完
注解
本命题是前一命题的逆命题。
假定平方数20=400。这一数可以分解为两个数的乘积，比如a=50，b=8。这两个数有一个比例中项，即20，于是根据命题VIII.20， 它们是相似平面数（8可视为2乘以4，50可视为5乘以10）。
设：a 和b 两个数的乘积ab 是一个平方数，那么，a 和ab 也是平方数。这意味着它们是相似平面数。根据命题VIII.8，它们有一个比例中项，a∶ab=a∶b，所以：a和 b之间也有一个比例中项（命题VIII.8）。所以：a和b是相似平面图形（命题VIII.20）。
当乘积 ab是一个平方数，即e，那么：a和b的比例中项是e。
命题IX.3
如果一个立方数自乘得某个数，那么其乘积是立方数。
这章没有结束^.^，请点击下一页继续阅读！