首页 >> 几何原本 >> 几何原本全文阅读(目录)
大家在看 遮天 嫡嫁千金 遮天 说岳全传 大奉打更人 轮回乐园 斗破苍穹 斗罗大陆IV终极斗罗 撩到你腿软[娱乐圈] 陪读妈妈 
几何原本 欧几里得 -  几何原本全文阅读 -  几何原本txt下载 -  几何原本最新章节

第九卷 数论(三)(1/13)

上一章 目录 下一页 用户书架

数决定了万物的比例关系,和谐就是这一关系的外在表现。世界万物尽管各不相同,但它们只要相互保持一种数的比例关系,达到平衡,就会呈现和谐状态,即使像无限与有限、奇与偶、一与多、右与左、阴性与阳性、静与动、直线与曲线、明与暗、善与恶等等一些对立者,仍会相互契合、相互谐调而达和谐统一。

本卷涉及比例、几何级数,给出了许多关于数论的重要定理。

构成第九号

在这幅《构成第九号》作品中,似乎一切东西都没有规则性可言,我们无法在混乱的画面中辨认出具体的物象,就好像在我们的精神世界中有什么东西一闪而过,但却无法清晰地辨认出来。

本卷提要

※命题IX.14,没有质数能除尽另一些质数的乘积。这是算术的一个基础理论。

※命题IX.20,存在无穷多个质数。

※命题IX.23,奇数相加其和亦为奇数。

※命题IX.35,怎么得到等比级数之和。

※命题IX.36,关于完全数。

又因为:a和b是相似平面数,所以:一个比例中项落在a、b之间(命题VIII.18)。

命题IX.1

如果两个相似的平面数相乘得出某一个数,那么这个乘积是平方数。

设:a和b是两个相似的平面数,a与b相乘得c。

那么我说:c是个平方数。

设a自乘得d,那么d是平方数。

因为:a自乘得d,且a乘以b得c,所以:a比b等于d比c(命题VII.17)。

因为:如果在两个数之间有多少个成连续比例的数,那么在有相同比的数之间也有同样多个成连比的数。于是:在d和c之间也有一个比例中项。

又,d是平方数,所以:c也是平方数(命题VIII.22)。

所以:如果两个相似的平面数相乘得出某一个数,那么这个乘积是平方数。

证完

阿尔罕布拉宫的大清真寺

阿尔罕布拉宫是12、13世纪时期西班牙摩尔人统治者在高山顶部建立的一座堡垒及宫殿,它是伊斯兰建筑中的典范。这张内部速写图显示了其典型的马蹄形拱门以及深邃的空间。1924年,匈牙利数学家在著名的关于平面对称群的论文中证明这样的群共有17种,而出现在阿尔罕布拉宫的就有5种。在没有借助任何数学知识的情况下,埃舍尔在以后的研究中发现了所有17种可能性,他以艺术家的感性眼光,发现了数学家打开的理性之门后的美丽花园。

注解

这是第IX卷的第一命题,实际上也是第VIII卷比例的继续。

假定两个平面数a=18 ,b=8, 根据命题VIII.18, 它们中就有一个比例中项,即12,这一比例中项的平方数是它们的乘积,ab=144。

不清楚为什么不使用更简单的结论来证明,即比例中项的平方数是它们的乘积,而要用更复杂的。

设:a 和b 是给定的两个平面数。那么,它们中就有一个比例中项(命题VIII.18)。又,因为a∶b=a∶ab,所以:在a 和ab中也就有一个比例中项(命题VIII.1)。但因为:a 是一个平方数,所以:ab 也是一个平方数(命题VIII.22)。于是:原始相似平面是一个平方数。

下一命题IX.2 是本命题的逆命题。这一命题应用在命题X.29中。

命题IX.2

如果两个数相乘得一个平方数,那么这两个数也是相似平面数。

设:a、b两个数,a乘以b得平方数c。

那么我说:a和b也是相似平方数。

令:a自乘得d,那么d是平方数(命题VII.17)。

因a自乘得d,a乘b得c,所以a比b等于d比c。

又因为:d是平方数,而c也是平方数,所以:d和c是相似平面数。

所以:一个比例中项数落在d、c之间。

又,d比c等于a比b,所以:一个比例中项数也落在了a、b之间(命题VIII.20)。

而,如果一个比例中项数落在两个数之间,那么它们是相似平面数,所以:a和b是相似平面数(命题VIII.20)。

所以:如果两个数相乘得一个平方数,那么这两个数也是相似平面数。

证完

注解

本命题是前一命题的逆命题。

假定平方数20=400。这一数可以分解为两个数的乘积,比如a=50,b=8。这两个数有一个比例中项,即20,于是根据命题VIII.20, 它们是相似平面数(8可视为2乘以4,50可视为5乘以10)。

设:a 和b 两个数的乘积ab 是一个平方数,那么,a 和ab 也是平方数。这意味着它们是相似平面数。根据命题VIII.8,它们有一个比例中项,a∶ab=a∶b,所以:a和 b之间也有一个比例中项(命题VIII.8)。所以:a和b是相似平面图形(命题VIII.20)。

当乘积 ab是一个平方数,即e,那么:a和b的比例中项是e。

命题IX.3

如果一个立方数自乘得某个数,那么其乘积是立方数。

本小章还未完~.~,请点击下一页继续阅读后面精彩内容!

上一章 目录 下一页 存书签
你可能会喜欢 遮天 轮回乐园 吞噬星空 全职法师 大奉打更人 我喜欢你的信息素 斗破苍穹 寂寞少妇的诱惑 万族之劫 诡秘之主 洗铅华 神医弃女 你是我的荣耀 偷偷藏不住 完美世界