公元前3世纪初叶，秦始皇“扫六合，吞八荒”统一了中国。当年，为了便于管理调度人数众多的军队，秦王运用了一种特殊的记数方法，人称“秦王暗点兵”： “秦兵列队，每列百人则余一人，九九人则余二人，百零一人则不足二人。问秦兵几何？” 1966年，中国陈景润证明了“歌德巴赫猜想”之一：“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”。这一证明把数论研究推向了一个顶峰，在国际数学界也引起了强烈的反响。
本卷继续讨论初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”。
蜥蜴
在埃舍尔的《蜥蜴》图案里，镶嵌而成的蜥蜴逃离了二维平面的束缚，爬向了三维空间，接着又重新陷入到原来的图案中。这群在二维空间和三维空间往复回旋的蜥蜴就像回旋于一种麦比鸟斯怪圈。埃舍尔在这里为我再现了不可能的奇异空间。
本卷提要
※命题VIII.2、VIII.4，找出成连续比的数。
※命题VIII.22，正方形和立方体的诸比例关系。如三个数成连比，第一个数是个平方数，那么第三个数也一定是平方数。
命题VIII.1
有几个数成连续比例，且两外项互质，那么这些数是与它们有相等比的数组中最小的数组。
设：任意数a、b、c和d成连续比例，其外项a和d为互质数。
那么我说：a、b、c和d是与它们有相等比的数组中最小的数组。
假定不是，令：e、f、g和h小于a、b、c和d，并与它们有相等比。
那么因为：a、b、c和d与e、f、g和h有相等比，且a、b、c、d的个数等于e、f、g、h的个数，由首末比，a比d等于e比h（命题VII.14）。
又：a与d为互质数，互质数也是与它们有相等比的数中最小的，该一最小数测尽与它们有相等比的数，并有相同的次数，大测尽大，小测尽小。即前项测尽前项，后项测尽后项，并次数相等。
于是：a测尽e，大测尽小，这是不可能的（命题VII.21、VII.20）。
所以：小于a、b、c和d的数e、f、g和h与它们没有相等比。
所以：a、b、c和d是与它们有相等比的最小数组。
所以：有几个数成连续比例，且两外项互质，那么这些数是与它们有相等比的数组中最小的数组。
证完
注解
欧几里得并没有定义连比例，这一命题可以用如下公式表示：
a∶a=a∶a=a∶a=…=a∶a。
例如：1250∶750=750∶450=450∶270=270∶162
它们每个的比都是相同的5∶3。
用现代数学描述方法即为：a，a，a， …， a，a是等比级数或等比序列，每个连续对的比是连续的。大量的等比级数出现在卷VIII和卷IX中，等比级数之和出现在命题IX.35中。
这一命题应用在下一命题及命题VIII.9中。相反的命题应用在命题VIII.3中。
命题VIII.2
根据规定的个数，可以求出连比例的且有已知比的最小数组。
设：a比b是给定的有已知比最小的数对。
现在要求的是：按规定的数目求出成连比例的最小数组，其比等于a比b。
设：指定数目为四，a自乘得c，a乘以b得d，b自乘得e。
设a乘以c、d和e分别得f、g和h，b乘以e得k。
那么因为：a自乘得c，且a乘以b得d，所以：a比b等于c比d（命题VII.17）。
又因为：a乘以b得d，且b自乘得e，所以：a和b分别乘以b得d和e。
所以：a比b等于d比e，而a比b等于c比d，于是：c比d等于d比e（命题VII.18） 。
又因为：a乘以c和d分别得f和g，于是：c比d等于f比g（命题VII.17）。
而c比d等于a比b，于是a比b等于f比g。
又因为：a乘以d、e得g、h，于是d比e等于g比h。
而d比e等于a比b，于是a比b等于g比h（命题VII.17）。
又因为：a、b乘以e得h、k，所以：a比b等于h比k。
而a比b等于f比g，又等于g比h，所以：f比g等于g比h，又等于h比k（命题VII.18）。
所以：c、d、e和f、g、h、k皆成连比例，并其比与a比b相等。
我还要进一步说：它们是已知比的最小数。
因为：a和b是与它们有同比的最小数，有同比的最小数是互质数，所以：a和b是互质数（命题VII.22）。
又数a和b分别自乘得到c和e；a、b分别乘以c、e得f、k，于是：c、e和f、k皆为互质数（命题VII.27）。
古代仪器
文艺复兴时期，科学在走出黑暗之后，仍与宗教进行着艰苦漫长的斗争。直到牛顿用先进的微积分工具和严密的数学推理，从动力学定律、万有引力定律出发推演出太阳的运动之后，哥白尼的日心说才取得决定性的胜利，这正是思想革命中数学推动人类文明进步的一次伟大胜利。图为16世纪制造的天文仪器，也可译为升落潮汐仪。人们用它来测定白昼的长度，查明事件发生的天文时间。
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