于是：平分其余的圆弧，连接弦线，从分点作弦，这样重复作下去，我们将得到一个弓形的和小于圆EFGH超过面积S的部分。
因为：在第十卷第一定理中已经证明，如果两个不相等量，每次从大量中减去大于一半的量，若干次后，所余的量必小于较小的量（命题X.1）。
令：圆EFGH的EK、KF、FL、LG、GM、MH、HN、NE上的弓形之和小于圆与面积S的差。
所以余下的多边形EKFLGMHN大于面积S。
令：内接于圆A B C D的多边形AOBPCQDR，相似于多边形EKFLGMHN；
所以B D上的正方形比F H上的正方形，等于多边形AOBPCQDR比多边形EKFLGMHN（命题XII.1）。
但是，BD上的正方形比FH上的正方形如同圆ABCD比面积S；所以，圆ABCD比面积S如同多边形AOBPCQDR比多边形EKFLGMHN（命题V.11）。
所以由更比，圆ABCD比内接多边形如同面积S比多边形EKFLGMHN（命题V.16）。
但是圆ABCD大于内接于它的多边形，所以面积S大于多边形EKFLGMHN。
但是它也小于多边形EKFLGMHN，这是不可能的。
所以，BD上的正方形比FH上的正方形不同于圆ABCD比圆EFGH小的面积；类似地，我们也可以证明EFGH比一个小于圆ABCD的面积，不同于FH上的正方形比BD上的正方形。
其次，可证得圆ABCD比一个大于圆EFGH的面积，也不同于BD上的正方形与FH上的正方形。
假设可能，令成比例的较大的面积是S。
所以，由逆比，FH上的正方形比DB上的正方形，等于面积S比圆ABCD。
但是，面积S比圆ABCD等于圆EFGH比小于圆ABCD的一个面积。
所以，FH上的正方形比BD上的正方形等于圆EFGH比小于圆ABCD的某个面积。已经证明了这是不可能的。
所以，BD上的正方形比FH上的正方形不同于圆ABCD比大于圆EFGH的某个面积。又已经证明了：成比例的小于圆EFGH的面积是不存在的，所以，BD上的正方形比FH上的正方形等于圆ABCD比圆EFGH。
所以，圆与圆之比等于直径为边的正方形之比。
证完
注解
在上一命题中，圆的内接相似多边形与圆的直径上的正方形成比例。根据相似原则，其圆也成比例。
引理
若面积S大于圆EFGH，那么，可得面积S比圆ABCD同于圆EFGH比小于圆ABCD的某个面积。
设：面积S比圆ABCD同于圆EFGH比面积T。
那么我说，面积T小于圆ABCD。
因为，面积S比圆ABCD同于圆EFGH比面积T，所以由更比，面积S比圆EFGH等于圆ABCD比面积T。
但是，面积S大于圆E F G H，所以圆ABCD大于面积T。
因此，面积S比圆ABCD同于圆EFGH比小于圆ABCD的某个面积。
命题XII.3
任何以三角形为底的棱锥皆可分为两个相等，并与原棱锥相似又以三角形为底的三棱锥；并可分为两个相等的棱柱，两棱柱之和大于原棱锥的一半。
设：棱锥的底为三角形ABC，D为其顶点。
那么我说：棱锥ABCD可分为两个相等且相似的棱锥，它以三角形为底，且与原棱锥相似；且可分为两个相等的棱柱，两棱柱之和大于原棱锥的一半。
闵可夫斯基的论文
拉格朗日对力学研究的特色在于，他把时间表示成与三个空间维相当的另一个维度，这使得物理学家和数学家变得习惯于四维世界。1909年，赫尔曼·闵可夫斯基认为：动力学就是四维世界的几何学，恰如静力学是人们原有的三维世界里的几何学一般。事实上，这是一条纯几何的变分原理，它确定了闵可夫斯基四维空间的造型。
在点E、F、G、H、K、L上平分AB、BC、CA、AD、DB、DC，连接HE、EG、GH、HK、KL、LH、KF、FG。
因为：AE等于EB，而AH等于DH，所以：EH平行于DB。同理，HK也平行于AB。所以：HEBK是一个平行四边形。所以：HK等于EB（命题VI.2、I.34）。
但是，EB等于EA，所以：AE也等于HK。
又，AH也等于HD，所以：两边EA、 AH分别等于两边KH、HD，角EAH等于角KHD，所以：底EH等于底KD（命题I.4）。
四元朱利娅集合
普通几何学研究的对象一般都是具有整数的准数。比如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，但近十几年来，产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。具体地说，就是客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，具有无穷层次适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变复杂的物理现象。电子计算机图形显示协助人们推开分形几何的大门，这座具有无穷层次结构的宏伟建筑每一角落里都存在无限嵌套的回廊，促使数学家们深入研究。图中的四元朱利娅集合是一个四维分形的三维切片，它具有自相似的层次结构，适当放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
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