定义XI.23 矩形绕成圆柱时，相对的两边旋转成的两个圆面，称为圆柱的底。
定义XI.24 圆柱或圆锥，如果它们轴与底的直径成比例，圆柱称为相似圆柱，圆锥称为相似圆锥。
定义XI.25 六个相等的正方形构成的立体图形，称为立方体。
定义XI.26 八个全等的等边三角形所构成的立体图形，称为正八面体。
定义XI.27 二十个全等的等边三角形构成的立体图形，称为正二十面体。
定义XI.28 十二个相等的等边且等角的五边形所构成的立体图形，称为正十二面体。
命题XI.1
一条直线不可能一部分在平面内，而另一部分在平面外。
如果一条直线可能一部分在平面内，另一部分在平面外。设直线ABC的AB部分在平面内，而BC部分在平面外。
雅各布·伯努利
雅各布·伯努利（1654—1705年）诞生在瑞士一个产生过十一位数学家的家族。他是巴塞尔大学教授，变分法的创始人之一。他曾和莱布尼茨共同获得微积分学中的不少成果，对常微分方程里的积分法也有贡献，亦是概率论的早期研究者，并提出了关于大数法则的伯努利定理及伯努利数。
于是：在平面内的直线AB，就有一条直线可以和它连成同一条直线，设其为BD，于是：AB便是两条直线ABC和ABD的共同部分，这是不可能的，因为：如果我们以B为圆心以AB为半径作圆，那么，两条直径切出不相等的圆弧。
所以：一条直线不可能一部分在平面内，而另一部分在平面外。
证完
注解
在本命题中，欧几里得混淆了直线与线段的概念，以至于在证明过程中把“线段”也当成直线了。在以下许多命题中也有类似现象。
命题XI.2
两条相交直线，在一个平面内，它们构成的三角形，也皆在一个平面内。
设：两条直线AB和CD相交于E点。
那么我说：AB、CD是在一个平面内，且每个三角形也在一个平面内。
在BC和EB上任选一点F和G，连接CB、FG，再作FH和GK。
那么我说：首先，三角形ECB是在一个平面内。
因为，如果三角形ECB的一部分，三角形FHC或者三角形GBK，在一个平面内，余下的部分在平面外，那么，直线EC或者EB也就会一部分在平面内，一部分在平面外。
又，如果三角形ECB的一部分FCBG在原平面内，而余下的部分在另一平面内，那么，直线EC、EB的一部分也就在原平面内，而余下的部分在另一平面。这已被证明是荒谬的（命题XI.1）。
所以：三角形ECB是在一个平面内。
又，无论三角形ECB在哪样一个平面内，EC和EB也与它在同一平面内；又，EC和EB所在的平面，也是AB和CD所在的平面（命题XI.1）。
所以：直线AB和CD位于一个平面内，且每个三角形也位于同一平面内。
所以：两条相交直线，在一个平面内，它们构成的三角形，也皆在一个平面内。
证完
命题XI.3
两平面相交，其交集是一条直线。
设：AB和BC两个平面相交，DB是其交集。
那么我说：DB是条直线。
因为，如果不是直线，设从D到B在平面AB上连接的直线为DEB，在平面BC上连接的直线为DFB。
那么：两条直线DEB和DFB有相同的端点，并显然构成一个面，这是荒谬的。
所以：DEB和DFB不是直线。
同样，我们可以证明，除平面AB、BC的交线外，没有任何线能连接从D到B。
所以：两平面相交，其交集是一条直线。
证完
命题XI.4
如果一条直线与另两条相交直线垂直于交点上，那么，它也与两相交线所在的平面垂直。
设：一直线EF，与两直线AB、CD在交点E上，构成直角。
那么我说：EF也与AB、CD所在的平面成直角。
切分AE、EB、CE、ED，使它们相互相等，且过E点任意引一直线GEH，连接AD、CB。取EF上任意一点F，再连接FA、FG、FD、FC、FH、FB（命题XI.2、I.3）。
现在，因为，两线段AE、ED分别等于两线段CE、EB，并且夹角也相等。所以：底边AD等于底边CB，三角形AED等于三角形CEB，于是：角DAE等于角EBC（命题I.15、I.4）。
又，角AEG也等于角BEH，所以：AGE和BEH是有两个角及夹边分别相等的两个三角形，夹边即AE、EB。所以：其余的边也相等，即GE等于EH，AG等于BH（命题I.15、I.26）。
又因为：AE等于EB，同时FE是直角处的公共边。所以：底边FA等于底边FB（命题I.4）。
同理，FC等于FD。
又因为：AD等于CB，FA也等于FB，两条边FA、AD与两条边FB、BC分别相等，且已证明底边FD等于底边FC。所以：角FAD等于角FBC（命题I.8）。
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