定义X.4
虽然欧几里得在线段上使用不寻常的“有理线段”说法，但在处理面时，却使用通常方法。根据欧几里得的说法，如果一个面与一个标准的正方形可公约，那么这个面是有理面，反之则是无理面。
命题X.1
在两个不等量中，从较大的量中减去一个大于它的一半的量，再从余量中减去大于该余量一半的量，依次减下去，那么必得到一个余量，其值小于较小的量。
设：AB和c是两个不等量，AB较大。
那么我说：从AB中减去大于自己一半的量，再从其余量中减去大于余量一半的量，依次减下去，那么最后将得到一个余量小于c。
因为c的若干倍总可以大于AB（参考定义V.4）。
设DE是c的若干倍。
将DE分成等于c的部分DF、FG、GE。从AB中减去BH，BH大于它的一半，再从AH减去大于自己的一半的HK，依次减下去，直至分AB的个数等于分DE的个数。
然后，被分得的AK、KH、HB的个数等于DF、FG、GE的个数。
那么因为：DE大于AB，又从DE中减去小于它一半的EG，再从AB中减去大于它一半的BH，于是：其余值GD大于余值HA。
又因为GD大于HA，从GD中减去它的一半GF，再从HA中减去大于它的一半HK，于是余值DF大于余值AK。
又，DF等于c，于是：AK小于c。
所以：量AB的余量AK小于原来较小的量c。
所以：在两个不等量中，从较大的量中减去一个大于它的一半的量，再从余量中减去大于该余量一半的量，依次减下去，那么必得到一个余量，其值小于较小的量。
类似地可以证明，如果从大量中累减所余之半，命题也成立。
证完
注解
证明从两个量c和AB开始，声明c中的某个量大于AB。定义V. 4 对于这一陈述并未定义。欧几里得在命题III.16中证明一个弓形角小于任何直线角，且认为如果量c是一个弓形角，量AB是一个直线角，那么，没有c的量大于AB。但是，他没有限定这一命题仅仅为某些特殊类型的量。
这一命题是卷XII穷举法的基础。并未用在卷X中的其余命题之中，其实，放在卷XII的开始部分更为合适。这一方法应用在涉及圆的面和立体的体积的命题中。特别应用在命题XII.2、XII.5、XII.10、XII.11、XII.12和 XII.16中。
命题X.2
如果从两个不等量中连续大量减小量，直到余量小于小量，再从小量中减去余量，直到小于余量，依次下去，当所余的量不能测尽它前面的量时，则该二量不可公约。
设：有两个不等量为AB、CD，AB较小，连续从较大的量中减去较小的量，直到余量小于小量，再从小量中减去余量，直到小于余量，依次下去，直到所余的量不能测尽它前面的量。
那么我说：AB和CD是不可公约量。
假定它们是可公约的，那么就有某个量可以测尽它们，令其为e。
令：AB测尽FD，余CF，并小于AB；CF测尽BG，余AG，小于CF；依次下去，直到其余量小于e。
假设这已作出，余量AG小于e。
那么因为：e测尽AB，同时AB测尽DF，于是：e也测尽FD，而它也测尽整个CD，于是：e也测尽CF。而CF测尽BG，于是：e也测尽BG。
但它也测尽整个AB，于是：它也测尽余量AG。则大测尽小。这是不可能的。
所以：没有量可以测量AB和CD。所以：量AB和CD是不可公约的（定义X.1）。
所以：如果从两个不等量中连续大量减小量，直到余量小于小量，再从小量中减去余量，直到小于余量，依次下去，当所余的量不能测尽它前面的量时，则该二量不可公约。
证完
注解
欧几里得运算法，首先应用在命题VII.1中，在本命题中再次应用。从大量中反减小量。命题VII.1涉及互质数。它相似于这一命题，但它的结论是不同的。
下面是一个不可公约量的例子。
设：在命题IV.10中，有36°－72°－72°的三角形ABC。这个三角形应用在下一命题IV.11中以建正五边形。当边AC减去底边BC，余量是相似三角形BCD的底边CD。同样，当新三角形的底边CD从它的边BD中减除，其余量DE也是另一个较小的相似三角形CDE的边。
宇宙中的螺旋
目前人类所认识的宇宙是物质在三维空间和一维时间中有秩序运动的事物。宇宙的本质可以用螺旋纹加以形象地表现出来。综观自然宇宙，螺旋构造最能表现出时间、空间和物质所包含的内在哲理。无论是自然的物质哲理还是人间的精神哲理，人类认识的世界都像螺旋构造所显示的那样存在着循环规律、对补性质和变异法则。
于是：当我们从AB和BC开始的线，形成无限序列的连续比：
AB∶BC=BC∶CD=CD∶DE=DE∶EF=…
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